Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(AB = AC = 4\), \(BC = 2\), \(SA = 4\sqrt 3 \), \(\angle SAB = \angle SAC = {30^0}\).

Câu hỏi số 449973:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(AB = AC = 4\), \(BC = 2\), \(SA = 4\sqrt 3 \), \(\angle SAB = \angle SAC = {30^0}\). Gọi \({G_1};\,\,{G_2};\,\,{G_3}\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(\Delta SBC,\,\,\Delta SCA,\,\,\Delta SAB\) và \(T\) đối xứng với \(S\) qua mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Thể tích khối chóp \(T{G_1}{G_2}{G_3}\) bằng \(\dfrac{a}{b}\), với \(a,\,\,b \in \mathbb{N}\) và \(\dfrac{a}{b}\) tối giản. Tính giá trị của biểu thức \(P = 2a - b\).

A. \(3\)

B. \( - 9\)

C. \(5\)

D. \(1\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:449973

Phương pháp giải

- Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), chứng minh \(BC \bot \left( {SAM} \right)\) , từ đó xác định chiều cao hạ từ đỉnh \(S\) của khối chóp bằng cách sử dụng định lí: Cho hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nằm trong mặt này và vuông góc với giao tuyến thì sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

- Xác định tỉ số \(\dfrac{{d\left( {T;\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)} \right)}}{{d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right)}};\,\,\,\dfrac{{{S_{\Delta {G_1}{G_2}{G_3}}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}\), từ đó suy ra tỉ số \(\dfrac{{{V_{T.{G_1}{G_2}{G_3}}}}}{{{V_{S.ABC}}}}\).

- Tính chiều cao của khối chóp, chính là chiều cao của tam giác \(SAM\) nhờ vào diện tích tam giác \(SAM\), muốn tính \({S_{\Delta SAM}}\) ta sử dụng định lí Pytago tính từng cạnh của tam giác sau đó áp dụng công thức He-rong \({S_{\Delta SAM}} = \sqrt {p\left( {p - SA} \right)\left( {p - AM} \right)\left( {p - SM} \right)} \) với \(p\) là nửa chu vi tam giác \(SAM\).

- Tính \({V_{S.ABC}}\), từ đó tính \({V_{T.{G_1}{G_2}{G_3}}}\), suy ra \(a,\,\,b\) và tính \(P\).

Giải chi tiết

Xét tam giác \(SAB\) và \(\Delta SAC\) có:

\(\begin{array}{l}SA\,\,chung\\AB = AC\,\,\left( {gt} \right)\\\angle SAB = \angle SAC = {30^0}\,\,\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \Delta SAB = \Delta SAC\,\,\left( {c.g.c} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow SB = SC\) (2 cạnh tương ứng) \( \Rightarrow \Delta SBC\) cân tại \(S\).

Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,\,AC\) ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}SM \bot BC\\AM \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right)\).

Trong \(\left( {SAM} \right)\) kẻ \(SH \bot AM\,\,\left( {H \in AM} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SH \bot AM\\SH \bot BC\,\,\left( {BC \bot \left( {SAM} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).

Dễ thấy \(\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)//\left( {ABC} \right)\) và \(\dfrac{{d\left( {S;\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)} \right)}}{{d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right)}} = \dfrac{{S{G_1}}}{{SM}} = \dfrac{2}{3}\) \( \Rightarrow d\left( {S;\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)} \right) = \dfrac{2}{3}SH\).

\( \Rightarrow d\left( {T;\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)} \right) = 2SH - \dfrac{2}{3}SH = \dfrac{4}{3}SH\).

Lại có \(\Delta {G_1}{G_2}{G_3}\) đồng dạng với \(\Delta ABC\) theo tỉ số \(k = \dfrac{{{G_1}{G_2}}}{{AB}} = \dfrac{{{G_1}{G_2}}}{{MN}}.\dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}\).

\( \Rightarrow {S_{\Delta {G_1}{G_2}{G_3}}} = \dfrac{1}{9}{S_{\Delta ABC}}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{{V_{T.{G_1}{G_2}{G_3}}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{d\left( {T;\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)} \right)}}{{d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right)}}.\dfrac{{{S_{\Delta {G_1}{G_2}{G_3}}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \dfrac{4}{3}.\dfrac{1}{9} = \dfrac{4}{{27}}\\ \Rightarrow {V_{T.{G_1}{G_2}{G_3}}} = \dfrac{4}{{27}}{V_{S.ABC}}\end{array}\)

Xét tam giác vuông \(ABM\) có: \(AM = \sqrt {A{B^2} - B{M^2}} = \sqrt {{4^2} - {1^2}} = \sqrt {15} \).

\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AM.BC = \dfrac{1}{2}.\sqrt {15} .2 = \sqrt {15} \).

Xét tam giác \(SAB\) có:

\(\begin{array}{l}S{B^2} = S{A^2} + A{B^2} - 2SA.AB.\cos \angle SAB\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {4\sqrt 3 } \right)^2} + {4^2} - 2.4\sqrt 3 .4.\cos {30^0} = 16\\ \Rightarrow SB = 4 = SC\end{array}\)

Xét tam giác vuông \(SBM\) có \(SM = \sqrt {S{B^2} - B{M^2}} = \sqrt {{4^2} - {1^2}} = \sqrt {15} \).

Gọi \(p\) là nửa chu vi tam giác \(SAM\) ta có \(p = \dfrac{{SA + AM + SM}}{2} = \dfrac{{4\sqrt 3 + \sqrt {15} + \sqrt {15} }}{2} = 2\sqrt 3 + \sqrt {15} \).

\( \Rightarrow {S_{\Delta SAM}} = \sqrt {p\left( {p - SA} \right)\left( {p - AM} \right)\left( {p - SM} \right)} = \sqrt {36} = 6\).

Lại có \({S_{\Delta SAM}} = \dfrac{1}{2}SH.AM \Rightarrow SH = \dfrac{{2{S_{\Delta SAM}}}}{{AM}} = \dfrac{{2.6}}{{\sqrt {15} }} = \dfrac{{12}}{{\sqrt {15} }}\).

\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{12}}{{\sqrt {15} }}.\sqrt {15} = 4\) \( \Rightarrow {V_{T.{G_1}{G_2}{G_3}}} = \dfrac{4}{{27}}{V_{S.ABC}} = \dfrac{4}{{27}}.4 = \dfrac{{16}}{{27}}\).

\( \Rightarrow a = 16;\,\,b = 27\). Vậy \(P = 2a - b = 2.16 - 27 = 5\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.