Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất

Câu hỏi số 449974:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {4x - {x^2}} \right) + \dfrac{1}{3}{x^3} - 3{x^2} + 8x - \dfrac{5}{3}\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\).

A. \(10\)

B. \( - 10\)

C. \(9\)

D. \( - \dfrac{5}{3}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:449974

Phương pháp giải

- Tính \(g'\left( x \right)\), đưa về dạng tích và giải phương trình \(g'\left( x \right) = 0\).

- Trong \(g'\left( x \right) = 0\) có 1 nhân tử khá cồng kềnh, nhận xét trên \(\left[ {1;3} \right]\) thì nhân tử đó vô nghiệm, từ đó suy ra nghiệm của phương trình \(g'\left( x \right) = 0\).

- Lập BBT hoặc phán đoán nhanh để xác định \(\mathop {max}\limits_{\left[ {1;3} \right]} g\left( x \right)\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}g'\left( x \right) = \left( {4 - 2x} \right)f'\left( {4x - {x^2}} \right) + {x^2} - 6x + 8\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - 2\left( {x - 2} \right)f'\left( {4x - {x^2}} \right) + \left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {x - 2} \right)\left[ { - 2f'\left( {4x - {x^2}} \right) + x - 4} \right]\end{array}\).

Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\ - 2f'\left( {4x - {x^2}} \right) + x - 4 = 0\end{array} \right.\)

Xét hàm số \(h\left( x \right) = 4x - {x^2}\) với \(x \in \left[ {1;3} \right]\) ta có \(h'\left( x \right) = 4 - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 2\).

\(h\left( 2 \right) = 4;\,\,h\left( 1 \right) = 3;\,\,h\left( 3 \right) = 3\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} h\left( x \right) = 3\\\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} h\left( x \right) = 4\end{array} \right. \Rightarrow h\left( x \right) \in \left[ {3;4} \right]\) khi \(x \in \left[ {1;3} \right]\).

Dựa vào BBT ta thấy với \(4x - {x^2} \in \left[ {3;4} \right]\) thì \(f'\left( {4x - {x^2}} \right) > 0 \Rightarrow - 2f'\left( {4x - {x^2}} \right) < 0\).

Lại có \(x - 4 < 0\,\,\forall x \in \left[ {1;3} \right]\), do đó \( - 2f'\left( {4x - {x^2}} \right) + x - 4 < 0\,\,\forall x \in \left[ {1;3} \right]\).

Suy ra \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2\).

Vậy \(\mathop {max}\limits_{\left[ {1;3} \right]} g\left( x \right) = g\left( 2 \right) = f\left( 4 \right) + 5 = 5 + 5 = 10\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.