Giải hệ phương trình sau:

Câu hỏi số 45027:

Vận dụng cao

Giải hệ phương trình sau: $\left\{\begin{matrix} x^{2}-y-1=2\sqrt{2x-1} & & \\ y^{3}-8x^{3}+3y^{2}+4y-2x+2=0 & & \end{matrix}\right.$

A. (x; y) = ( -2 + √2; 3 + 2√2)

B. (x; y) = ( 2 + √2; 3 + 2√2)

C. (x; y) = ( 2 - √2; 3 + 2√2)

D. (x; y) = ( 2 + √2; 3 - 2√2)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:45027

Giải chi tiết

Đặt $\left\{\begin{matrix} x^{2}-y-1=2\sqrt{2x-1} \: \: (1)& & \\ y^{3}-8x^{3}+3y^{2}+4y-2x+2=0 \: \: (2)& & \end{matrix}\right.$

Điều kiện: x ≥ $\frac{1}{2}$

Phương trình (2) ⇔ (y + 1)³+ (y + 1) = (2x)³+ 2x

Xét hàm số f(t) = t³+ t có f’(t) = 3t²+ 1 > 0

Suy ra f(t) đồng biến => f(y + 1) = f(2x) ⇔ y = 2x - 1

Thay vào (1) ta được phương trình:

x²- 2x = 2 $\sqrt{2x-1}$ ⇔ (x - 1)² - 1 = 2 $\sqrt{2x-1}$

Đặt t - 1 = $\sqrt{2x-1}$ (t ≥ 1) ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix} (t-1)^{2} =2x-1& & \\ (x-1)^{2}=2t-1 & & \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} t^{2}-2t+2=2x & & \\ x^{2}-2x+2=2t & & \end{matrix}\right.$

Trừ vế với vế hai phương trình cho nhau được (t - x)(t + x) = 0 ⇔ $\left [\begin{matrix} t=x & & \\ t=-x & & \end{matrix}$

* Với t = x

=> x - 1 = $\sqrt{2x-1}$ ⇔ x²- 4x + 2 = 0 ⇔ x = 2 + √2 = t hoặc

x = 2 - √2 = t (loại)

* Với t = -x => - x - 1 = $\sqrt{2x-1}$ (vô nghiệm)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = ( 2 + √2; 3 + 2√2)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.