Tính tích phân sau: I = dx

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Câu hỏi số 45043:

Vận dụng

Tính tích phân sau: I = $\int_{0}^{\frac{\Pi }{3}}$ $\frac{\sqrt{\frac{cos2x}{cos^{2}x}+2\sqrt{3}tanx}}{cos^{2}x}$ dx

A. I = 1 - $\frac{2\Pi }{3}$ - $\frac{\sqrt{3}}{2}$

B. I = - $\frac{2\Pi }{3}$ - $\frac{\sqrt{3}}{2}$

C. I = $\frac{2\Pi }{3}$ + $\frac{\sqrt{3}}{2}$

D. I = $\frac{2\Pi }{3}$ - $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:45043

Giải chi tiết

Ta có: I = $\int_{0}^{\frac{\Pi }{3}}$ $\frac{\sqrt{\frac{2cos^{2}x-1}{cos^{2}x}+2\sqrt{3}tanx}}{cos^{2}x}$ dx

= $\int_{0}^{\frac{\Pi }{3}}$ $\frac{\sqrt{-tan^{2}x+2\sqrt{3}tanx+1}}{cos^{2}x}$ dx

= $\int_{0}^{\frac{\Pi }{3}}$ $\frac{\sqrt{4-(tanx-\sqrt{3})^{2}}}{cos^{2}x}$ dx

Đặt t = tanx - √3 => dt = $\frac{dx}{cos^{2}x}$

Đổi cận: x = 0 => t = - √3; x = $\frac{\Pi }{3}$ => t = 0

=> I = $\int_{-\sqrt{3}}^{0}$ $\sqrt{4-t^{2}}$ dt. Đặt t = 2sinu => dt = 2cosu.du

Đổi cận: t = -√3 => u = - $\frac{\Pi }{3}$ ; t = 0 => u = 0

=> I = $\int_{-\frac{\Pi }{3}}^{0}$ 4cos²u.du = 2 $\int_{-\frac{\Pi }{3}}^{0}$ (1 + cos2u)du

= 2(u + $\frac{1}{2}$ sin2u) $\left |\begin{matrix} 0 & & \\ -\frac{\Pi }{3} & & \end{matrix}$ = $\frac{2\Pi }{3}$ + $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Vậy I = $\frac{2\Pi }{3}$ + $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.