Cho tam giác cân ABC, \(AB = AC = 5\), góc \(\angle BAC = {120^0}\). Khi đó \(\overrightarrow {CA}

Câu hỏi số 450537:

Vận dụng

Cho tam giác cân ABC, \(AB = AC = 5\), góc \(\angle BAC = {120^0}\). Khi đó \(\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} \) bằng

A. \(\dfrac{{25}}{2}\)

B. \(25\)

C. \(\dfrac{{75}}{2}\)

D. \(\dfrac{{ - 75}}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:450537

Phương pháp giải

Tính độ dài cạnh BC bằng cách tách \(B{C^2}\)\( = {\left( {\overrightarrow {BC} } \right)^2}\)\( = {\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)^2}\)\( = {\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {AC} ^2} - 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)

Sử dụng công thức \(\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = \left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|\)\(.\cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right)\)

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}B{C^2} = {\left( {\overrightarrow {BC} } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)^2} = {\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {AC} ^2} - 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \\ \Leftrightarrow B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos BAC\\BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos BAC} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{5^2} + {5^2} - 2.5.5.\cos \left( {120^\circ } \right)} = 5\sqrt 3 \end{array}\)

Ta có : \(\left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \angle ACB\) mà \(\angle A + \angle B + \angle C = {180^0}\) và \(\angle B = \angle C\)

Nên \({120^0} + 2\angle C = {180^0}\)\( \Rightarrow \angle C = {30^0}\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = \left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right)\\ & = \left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|.\cos ACB\\ & = 5.5\sqrt 3 .\cos {30^0} = \dfrac{{75}}{2}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.