Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo; I, J là các điểm thỏa mãn các

Câu hỏi số 450693:

Vận dụng cao

Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo; I, J là các điểm thỏa mãn các điều kiện \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow 0 \), \(\overrightarrow {JB} + \overrightarrow {JC} = \overrightarrow 0 \); H, H’ lần lượt là trực tâm của các tam giác OAB và OCD. Chứng minh rằng hai đường thẳng HH’ và IJ vuông góc với nhau.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:450693

Phương pháp giải

Ta có: \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 0.\)

Gợi ý: Chứng minh tích vô hướng của \(\overrightarrow {HH'} \) và \(\overrightarrow {IJ} \) bằng 0

Giải chi tiết

Theo đề bài ta có hình vẽ:

Ta có:

\(\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BJ} ;\)\(\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {ID} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CJ} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {IJ} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} } \right)\)

Xét: \(\overrightarrow {HH'} .\overrightarrow {IJ} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OH} - \overrightarrow {OH'} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} } \right)\)\( = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OH'} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {OH'} .\overrightarrow {DC} - \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {DC} } \right)\)

\( = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OH'} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {DC} } \right)\)

\( = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {CH'} } \right)\left( {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} } \right) - \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AH} } \right)\left( {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OD} } \right)} \right]\)

\( = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {AH} } \right).\overrightarrow {OC} - \left( {\overrightarrow {CH'} + \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OD} } \right).\overrightarrow {OA} } \right]\)

\( = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} } \right).\overrightarrow {OC} - \left( {\overrightarrow {OD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CH'} } \right).\overrightarrow {OA} } \right]\)

\( = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {HB} .\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {DH'} .\overrightarrow {OA} } \right) = 0\)

\( \Rightarrow HH' \bot IJ\)(đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10