Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\). Biết \(AB = BC

Câu hỏi số 452668:

Vận dụng cao

Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\). Biết \(AB = BC = a\) và \(AD = 2a\). Đường thẳng \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), \(SA = a\). Kẻ \(AH \bot SB\) và \(AK \bot SC\)\(\left( {H \in SB,\,\,K \in SC} \right)\).

a) Chứng minh \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).

b) Chứng minh \(SC \bot HK\) và \(DC \bot \left( {SAC} \right)\).

c) Tính góc giữa hai đường thẳng \(HK\) và \(CD\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:452668

Phương pháp giải

a) Sử dụng định lí: \(\left\{ \begin{array}{l}d \bot a\\d \bot b\\a \cap b \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( P \right)\).

b) Sử dụng định lí: \(\left\{ \begin{array}{l}d \bot \left( P \right)\\a \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d \bot a\) để chứng minh \(SC \bot HK\).

Gọi \(E\) là trung điểm của \(AD\), chứng minh \(DC \bot AC\), từ đó chứng minh \(DC \bot \left( {SAC} \right)\).

c) Trong \(\left( {SCD} \right)\) kẻ \(KI//CD\,\,\left( {I \in SD} \right)\), khi đó ta có \(\angle \left( {HK;CD} \right) = \angle \left( {HK;KI} \right)\).

Tính \(\angle HKI = \angle AKH + \angle AKI\). Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông và tính chất 2 đường thẳng vuông góc để tính góc.

Giải chi tiết

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\,\,\left( {gt} \right)\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\)

\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SB\,\,\left( {gt} \right)\\AH \bot BC\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\).

b) Vì \(AH \bot \left( {SBC} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow AH \bot SC\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SC\,\,\left( {cmt} \right)\\AK \bot SC\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow SC \bot \left( {AHK} \right) \Rightarrow SC \bot HK\).

Gọi \(E\) là trung điểm của \(AD\), khi đó \(ABCE\) là hình vuông cạnh \(a\).

\( \Rightarrow CE = a = \dfrac{1}{2}AD \Rightarrow \Delta ACD\) vuông tại \(C\) \( \Rightarrow AC \bot CD\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}DC \bot AC\,\,\left( {cmt} \right)\\DC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow DC \bot \left( {SAC} \right)\).

c) Trong \(\left( {SCD} \right)\) kẻ \(KI//CD\,\,\left( {I \in SD} \right)\), khi đó ta có \(\angle \left( {HK;CD} \right) = \angle \left( {HK;KI} \right)\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAB\) ta có:

\(AH = \dfrac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{{a.a}}{{\sqrt {{a^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAC\) ta có:

\(AK = \dfrac{{SA.AC}}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{a.a\sqrt 2 }}{{\sqrt {{a^2} + 2{a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Vì \(AH \bot \left( {SBC} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow AH \bot HK \Rightarrow \Delta AHK\) vuông tại \(H\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sin \angle AKH = \dfrac{{AH}}{{AK}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}:\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow \angle AKH = {60^0}\end{array}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}KI//CD\\CD \bot \left( {SAC} \right)\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow KI \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow KI \bot AK\) \( \Rightarrow \angle AKI = {90^0}\).

\( \Rightarrow \angle HKI = \angle AKH + \angle AKI = {60^0} + {90^0} = {150^0} > {90^0}\).

Vậy \(\angle \left( {HK;CD} \right) = \angle \left( {HK;KI} \right) = {180^0} - \angle HKI = {180^0} - {150^0} = {30^0}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.