Từ điểm \(A\) ngoài đường tròn \(\left( O \right)\), kẻ hai tiếp tuyến \(AB\) và \(AC\) đến

Câu hỏi số 452673:

Vận dụng

Từ điểm \(A\) ngoài đường tròn \(\left( O \right)\), kẻ hai tiếp tuyến \(AB\) và \(AC\) đến \(\left( O \right)\) với \(B\) và \(C\) là hai tiếp điểm. Kẻ một đường thẳng \(\left( d \right)\) nằm giữa hai tia \(AB\), \(AO\) đi qua \(A\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(E\) và \(F\) (\(E\) nằm giữa \(A\) và \(F\)).

1. Chứng minh 4 điểm \(A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}O,{\rm{ }}C\) cùng thuộc một đường tròn.

2. Gọi \(H\) là giao điểm của \(AO\) và \(BC\). Chứng minh \(OH.OA = O{E^2}.\)

3. Đường thẳng qua \(O\) vuông góc với \(EF\) cắt \(BC\) tại \(S.\) Chứng minh \(SF\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\).

4. Đường thẳng \(SF\) cắt các đường thẳng \(AB\) và \(AC\) tương ứng tại \(P\) và \(Q.\) Đường thẳng \(OF\) cắt \(BC\) tại \(K.\) Chứng minh rằng \(AK\) đi qua trung điểm của \(PQ\)?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:452673

Phương pháp giải

1. Chứng minh tứ giác \(ABOC\) nội tiếp đường tròn bằng cách chứng minh tứ giác đó có tổng hai góc đối \(\angle ABO\) và \(\angle ACO\) bằng \({180^0}\).

2. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABO:O{B^2} = OH.OA\).

3. Dựa vào phần b) để chứng minh tam giác \(\Delta OEA\) và \(\Delta OHE\) đồng dạng, sau đó chứng minh tứ giác \(SOHE\) nội tiếp bằng cách chứng minh từ hai đỉnh cùng kề một cạnh cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau. Chứng minh hai tam giác \(\Delta SFO\) và \(\Delta SEO\) bằng nhau và suy ra điều phải chứng minh.

4. Gọi \(I\) là trung điểm\(PQ\), \(K'\) là giao của \(AI\) và \(BC\).

Ta sẽ chứng minh \(K'\) trùng với \(K\) để từ đó suy ra \(AK\) đi qua trung điểm của \(PQ\).

Qua \(K'\) vẽ đường thẳng song song với \(PQ\) cắt \(AP\) tại \(G\) và \(AQ\) tại \(N\), sử dụng định lý Talet chứng minh được:

\(K'G = K'N\).

Qua \(G\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(AC\) tại \(D\), chứng minh \(BG = CD\).

Chứng minh tam giác \(\Delta GON\) cân tại \(O\) để suy ra \(K'\) trùng với \(K\).

Giải chi tiết

1. Chứng minh 4 điểm \(A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}O,{\rm{ }}C\) cùng thuộc một đường tròn.

Theo giả thiết ta có: \(AB\) và \(AC\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB \bot OB\\AC \bot OC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\angle ABO = {90^0}\\\angle ACO = {90^0}\end{array} \right.\) (tính chất tiếp tuyến)

Xét tứ giác \(ABOC\) có: \(\angle ABO + \angle ACO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).

Mà hai góc này là hai góc đối diện

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(ABOC\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

\( \Rightarrow \) 4 điểm \(A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}O,{\rm{ }}C\) cùng nằm trên một đường tròn. (đpcm)

2. Gọi \(H\) là giao điểm của \(AO\) và \(BC\). Chứng minh \(OH.OA = O{E^2}.\)

Ta có: \(AB = AC\) (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow A\) thuộc đường trung trực của \(BC\) (tính chất). (1)

\(OB = OC = R\) \( \Rightarrow O\) thuộc đường trung trực của \(BC\) (tính chất). (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow OA\) là đường trực của \(BC\)

\( \Rightarrow OA \bot BC = \left\{ H \right\}.\)

Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta ABO\) vuông tại \(B\) có đường cao \(BH\) ta có: \(O{B^2} = OH.OA.\)

Lại có: \(OB = OE = R\)

\( \Rightarrow O{E^2} = OH.OA\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

3. Đường thẳng qua \(O\) vuông góc với \(EF\) cắt \(BC\) tại \(S.\) Chứng minh \(SF\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\)

Theo phần b) ta có: \(OH.OA = O{E^2}\)\( \Rightarrow \dfrac{{OE}}{{OH}} = \dfrac{{OA}}{{OE}}\)

Xét \(\Delta OEA\) và \(\Delta OHE\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}chung\,\,\angle O\\\dfrac{{OE}}{{OH}} = \dfrac{{OA}}{{OE}}{\rm{ }}\left( {cmt} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \Delta OEA \sim \Delta OHE\,\, \Leftrightarrow \left( {c - g - c} \right)\) \( \Rightarrow \angle OEA = \angle OHE\) (hai góc tương ứng)

Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle FEO = {180^0} - \angle OEA\\\angle EHA = {180^0} - \angle OHE\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \angle FEO = \angle EHA\)

Mặt khác: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle SOE = {90^o} - \angle FEO\\\angle SHE = {90^o} - \angle EHA\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \angle SOE = \angle SHE\)

Xét tứ giác \(SOHE\) có \(\angle SOE = \angle SHE\) (cmt)

Mà \(\angle SOE\) và \(\angle SHE\) cùng chắn cung SE.

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(SOHE\) nội tiếp.

\( \Rightarrow \angle SEO = \angle SHO = {90^o}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(SO\)).

Xét \(\Delta SFO\) và \(\Delta SEO\) có:

\(\begin{array}{l}SO{\rm{ chung}}\\SF = SE\\OF = OE = R\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta SFO = \Delta SEO\) (c.c.c) \( \Rightarrow \angle SFO = \angle SEO = {90^o}\)(hai góc tương ứng).

\( \Rightarrow SF \bot OF\) tại \(F\) \( \Rightarrow FS\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) (đpcm).

4. Đường thẳng \(SF\) cắt các đường thẳng \(AB\) và \(AC\) tương ứng tại \(P\) và \(Q.\) Đường thẳng \(OF\) cắt \(BC\) tại \(K.\) Chứng minh rằng \(AK\) đi qua trung điểm của \(PQ\)?

Gọi I là trung điểm PQ, K’ là giao của AI và BC.

Ta sẽ chứng minh K’ trùng với K để từ đó suy ra AK đi qua trung điểm của PQ.

Qua K’ vẽ đường thẳng song song với PQ cắt AP tại G và AQ tại N.

Vì GN // PQ \( \Rightarrow \dfrac{{GK'}}{{PI}} = \dfrac{{AK'}}{{AI}} = \dfrac{{NK'}}{{PQ}} = \dfrac{{K'N}}{{IQ}}\)

Mà \(IP = IQ\) (do I là trung điểm của \(PQ\) - cách dựng)\( \Rightarrow K'N = K'G\)

Qua G kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại D.

\( \Rightarrow \)BCDG là hình thang cân.

\( \Rightarrow BG = CD\) (tính chất hình thang cân).

Xét ∆NDG có: CK’ // DG, mà K’N = K’G (cmt)

\( \Rightarrow CD = CN\), mà CD = BG (cmt)\( \Rightarrow CN = BG\)

\( \Rightarrow \Delta BOG = \Delta CON\) (c.g.c)

\( \Rightarrow OG = ON\) (hai cạnh tương ứng) \( \Rightarrow \)\(\Delta GON\) cân tại O.

\( \Rightarrow OK' \bot GN\)

Mà OK \( \bot \) GN và K’, K đều thuộc BC

\( \Rightarrow K' \equiv K\)

\( \Rightarrow \)\(AK\) đi qua trung điểm của \(PQ\) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link