Giải phương trình: \(\sqrt 2 \sqrt {2{x^2} + x + 1} - \sqrt {4x - 1} + 2{x^2} + 3x - 3 = 0.\)

Câu hỏi số 454261:

Vận dụng cao

A. \(x = \frac{1}{2}\)

B. \(x = 1\)

C. \(x = \frac{1}{4}\)

D. \(x = \frac{5}{4}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:454261

Phương pháp giải

Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Biến đổi để đưa phương trình về dạng phương trình tích rồi giải phương trình.

Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Giải chi tiết

Điều kiện: \(x \ge \frac{1}{4}\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sqrt 2 \sqrt {2{x^2} + x + 1} - \sqrt {4x - 1} + 2{x^2} + 3x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {4{x^2} + 2x + 2} - 2 + 1 - \sqrt {4x - 1} + 2{x^2} + 3x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{4{x^2} + 2x + 2 - 4}}{{\sqrt {4{x^2} + 2x + 2} + 2}} + \frac{{1 - 4x + 1}}{{1 + \sqrt {4x - 1} }} + 2{x^2} + 4x - x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{4{x^2} + 2x - 2}}{{\sqrt {4{x^2} + 2x + 2} + 2}} + \frac{{2 - 4x}}{{1 + \sqrt {4x - 1} }} + 2x\left( {x + 2} \right) - \left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{2\left( {2{x^2} + x - 1} \right)}}{{\sqrt {4{x^2} + 2x + 2} + 2}} + \frac{{2\left( {1 - 2x} \right)}}{{1 + \sqrt {4x - 1} }} + \left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{2\left( {2x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt {4{x^2} + 2x + 2} + 2}} - \frac{{2\left( {2x - 1} \right)}}{{1 + \sqrt {4x - 1} }} + \left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)\left[ {\frac{{2x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} + 2x + 2} + 2}} - \frac{2}{{\sqrt {4x - 1} + 1}} + x + 2} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 1 = 0\\\frac{{2x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} + 2x + 2} + 2}} - \frac{2}{{\sqrt {4x - 1} + 1}} + x + 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\\\frac{{2x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} + 2x + 2} + 2}} + x + 2 - \frac{2}{{\sqrt {4x - 1} + 1}} = 0\,\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(x \ge \frac{1}{4} \Rightarrow \sqrt {4x - 1} + 1 \ge 1\) \( \Rightarrow \frac{2}{{\sqrt {4x - 1} + 1}} \le 2\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2 - \frac{2}{{\sqrt {4x - 1} + 1}} \ge 0\\ \Rightarrow \frac{{2x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} + 2x + 2} + 2}} + x + 2 - \frac{2}{{\sqrt {4x - 1} + 1}} > 0\,\,\,\forall x \ge \frac{1}{4}\end{array}\)

\( \Rightarrow \left( * \right)\) vô nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \frac{1}{2}.\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link