Giải phương trình: \(\sqrt 2 \sqrt {2{x^2} + x + 1} - \sqrt {4x - 1} + 2{x^2} + 3x - 3 = 0.\)

Câu 454261: Giải phương trình: \(\sqrt 2 \sqrt {2{x^2} + x + 1} - \sqrt {4x - 1} + 2{x^2} + 3x - 3 = 0.\)

A. \(x = \frac{1}{2}\)

B. \(x = 1\)

C. \(x = \frac{1}{4}\)

D. \(x = \frac{5}{4}\)

Câu hỏi : 454261

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Biến đổi để đưa phương trình về dạng phương trình tích rồi giải phương trình.

Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Điều kiện: \(x \ge \frac{1}{4}\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sqrt 2 \sqrt {2{x^2} + x + 1} - \sqrt {4x - 1} + 2{x^2} + 3x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {4{x^2} + 2x + 2} - 2 + 1 - \sqrt {4x - 1} + 2{x^2} + 3x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{4{x^2} + 2x + 2 - 4}}{{\sqrt {4{x^2} + 2x + 2} + 2}} + \frac{{1 - 4x + 1}}{{1 + \sqrt {4x - 1} }} + 2{x^2} + 4x - x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{4{x^2} + 2x - 2}}{{\sqrt {4{x^2} + 2x + 2} + 2}} + \frac{{2 - 4x}}{{1 + \sqrt {4x - 1} }} + 2x\left( {x + 2} \right) - \left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{2\left( {2{x^2} + x - 1} \right)}}{{\sqrt {4{x^2} + 2x + 2} + 2}} + \frac{{2\left( {1 - 2x} \right)}}{{1 + \sqrt {4x - 1} }} + \left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{2\left( {2x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt {4{x^2} + 2x + 2} + 2}} - \frac{{2\left( {2x - 1} \right)}}{{1 + \sqrt {4x - 1} }} + \left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)\left[ {\frac{{2x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} + 2x + 2} + 2}} - \frac{2}{{\sqrt {4x - 1} + 1}} + x + 2} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 1 = 0\\\frac{{2x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} + 2x + 2} + 2}} - \frac{2}{{\sqrt {4x - 1} + 1}} + x + 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\\\frac{{2x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} + 2x + 2} + 2}} + x + 2 - \frac{2}{{\sqrt {4x - 1} + 1}} = 0\,\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(x \ge \frac{1}{4} \Rightarrow \sqrt {4x - 1} + 1 \ge 1\) \( \Rightarrow \frac{2}{{\sqrt {4x - 1} + 1}} \le 2\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2 - \frac{2}{{\sqrt {4x - 1} + 1}} \ge 0\\ \Rightarrow \frac{{2x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} + 2x + 2} + 2}} + x + 2 - \frac{2}{{\sqrt {4x - 1} + 1}} > 0\,\,\,\forall x \ge \frac{1}{4}\end{array}\)

\( \Rightarrow \left( * \right)\) vô nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \frac{1}{2}.\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

Tham Gia Group 2K9 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.