Cho các số thực dương \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn: \(ab + bc + ca = 3.\) Chứng minh: \(\frac{{{a^3}}}{{b +

Câu hỏi số 454262:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn: \(ab + bc + ca = 3.\)

Chứng minh: \(\frac{{{a^3}}}{{b + 2c}} + \frac{{{b^3}}}{{c + 2a}} + \frac{{{c^3}}}{{a + 2b}} \ge 1.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:454262

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh.

Giải chi tiết

Đặt \(P = \frac{{{a^3}}}{{b + 2c}} + \frac{{{b^3}}}{{c + 2a}} + \frac{{{c^3}}}{{a + 2b}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\frac{{9{a^3}}}{{b + 2c}};\,\,\,\left( {b + 2c} \right)a\) ta có: \(\frac{{9{a^2}}}{{b + 2c}} + \left( {b + 2c} \right)a \ge 6{a^2}\)

Tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{9{b^3}}}{{c + 2a}} + \left( {c + 2a} \right)b \ge 6{b^2}\\\frac{{9{c^3}}}{{a + 2b}} + \left( {a + 2b} \right)c \ge 6{c^2}\end{array} \right.\)

Cộng vế với vế ba bất đẳng thức cùng chiều ta có:

\(\begin{array}{l}9\left( {\frac{{{a^3}}}{{b + 2c}} + \frac{{{b^3}}}{{c + 2a}} + \frac{{{c^3}}}{{a + 2b}}} \right) + \left( {b + 2c} \right)a + \left( {c + 2a} \right)b + \left( {a + 2b} \right)c \ge 6{a^2} + 6{b^2} + 6{c^2}\\ \Leftrightarrow 9P + 3\left( {ab + bc + ca} \right) \ge 6\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 9P + 9 \ge 6\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 3P + 3 \ge 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\end{array}\)

Lại có: \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca = 3\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 3P \ge 2.3 - 3 = 3\\ \Leftrightarrow P \ge 1.\end{array}\)

Vậy \(\frac{{{a^3}}}{{b + 2c}} + \frac{{{b^3}}}{{c + 2a}} + \frac{{{c^3}}}{{a + 2b}} \ge 1.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link