Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(AB = a\), \(BC = a\sqrt 3 \), \(\angle ABC = {60^0}\). Hình chiếu vuông góc của

Câu hỏi số 456112:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(AB = a\), \(BC = a\sqrt 3 \), \(\angle ABC = {60^0}\). Hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là một điểm thuộc cạnh \(BC\). Góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({45^0}\). Thể tích khối chóp \(S.ABC\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:456112

Phương pháp giải

- Xác định góc giữa \(SA\) và mặt đáy là góc giữa \(SA\) và hình chiếu của nó trên mặt đáy.

- Từ đó tính \(SH\) theo \(HA\).

- Tính \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.BC.\sin \angle ABC\) không đổi \( \Rightarrow {V_{S.ABC}}\) đạt GTNN khi \(HA\) nhỏ nhất.

- \(HA\) đạt GTNN khi và chỉ khi \(HA \bot BC\), từ đó tính \(HA\) và tính GTNN của \({V_{S.ABC}}\).

Giải chi tiết

\( \Rightarrow \angle \left( {SA;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SA;HA} \right) = \angle SAH = {45^0}\).

Ta có \(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot AH \Rightarrow \Delta SAH\) vuông cân tại \(H\) \( \Rightarrow SH = AH\).

Ta có: \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.BC.\sin \angle ABC = \dfrac{1}{2}.a.a\sqrt 3 .\sin {60^0} = \dfrac{{3{a^2}}}{4}\).

\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}AH.\dfrac{{3{a^2}}}{4} = \dfrac{{{a^2}}}{4}.AH\)

Để \({V_{S.ABC}}\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(A{H_{\min }} \Leftrightarrow AH \bot BC\) \( \Rightarrow AH = \dfrac{{2{S_{\Delta ABC}}}}{{BC}} = \dfrac{{2.\dfrac{{3{a^2}}}{4}}}{{a\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy \(\min {V_{S.ABC}} = \dfrac{{{a^2}}}{4}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.