Cho \(a,\,\,b\) là các số thực dương thỏa mãn \({\log _{\sqrt {ab} }}\left( {a\,\sqrt[3]{b}} \right) = 3.\)

Câu hỏi số 457142:

Vận dụng

Cho \(a,\,\,b\) là các số thực dương thỏa mãn \({\log _{\sqrt {ab} }}\left( {a\,\sqrt[3]{b}} \right) = 3.\) Tính \({\log _{\sqrt {ab} }}\left( {b\,\sqrt[3]{a}} \right).\)

A. \(\dfrac{1}{3}\)

B. \( - \dfrac{1}{3}\)

C. \(3\)

D. \( - 3\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:457142

Phương pháp giải

- Sử dụng các công thức

\({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\,\,\left( {0 < a \ne 1,\,\,x,y > 0} \right)\)

\({\log _{{a^n}}}{b^m} = \dfrac{m}{n}{\log _a}b\,\,\left( {0 < a \ne 1,\,\,b > 0} \right)\)

\({\log _a}b = \dfrac{1}{{{{\log }_b}a}}\,\,\left( {0 < a,b \ne 1} \right)\)

Từ giả thiết tính \({\log _a}b\).

- Biến đổi biểu thức cần tính bằng cách sử dụng các công thức trên, thay \({\log _a}b\) vừa tính được để tính giá trị biểu thức.

Giải chi tiết

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _{\sqrt {ab} }}\left( {a\sqrt[3]{b}} \right) = {\log _{\sqrt {ab} }}\left( {\sqrt[3]{{ab}}.\sqrt[3]{{{a^2}}}} \right)\\ = {\log _{\sqrt {ab} }}\sqrt[3]{{ab}} + {\log _{\sqrt {ab} }}\sqrt[3]{{{a^2}}}\\ = {\log _{{{\left( {ab} \right)}^{\dfrac{1}{2}}}}}{\left( {ab} \right)^{\dfrac{1}{3}}} + \dfrac{1}{{{{\log }_{{a^{\dfrac{2}{3}}}}}{{\left( {ab} \right)}^{\dfrac{1}{2}}}}}\\ = \dfrac{1}{3}2.{\log _{ab}}\left( {ab} \right) + \dfrac{1}{{\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}{{\log }_a}\left( {ab} \right)}}\\ = \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{{\dfrac{3}{4}\left( {1 + {{\log }_a}b} \right)}}\\ \Rightarrow \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{{\dfrac{3}{4}\left( {1 + {{\log }_a}b} \right)}} = 3\\ \Rightarrow {\log _a}b = - \dfrac{3}{7}\end{array}\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _{\sqrt {ab} }}\left( {b\sqrt[3]{a}} \right) = {\log _{\sqrt {ab} }}\left( {\sqrt[3]{{ab}}\sqrt[3]{{{b^2}}}} \right)\\ = {\log _{\sqrt {ab} }}\sqrt[3]{{ab}} + {\log _{\sqrt {ab} }}\sqrt[3]{{{b^2}}}\\ = {\log _{{{\left( {ab} \right)}^{\dfrac{1}{2}}}}}{\left( {ab} \right)^{\dfrac{1}{3}}} + \dfrac{1}{{{{\log }_{{b^{\dfrac{2}{3}}}}}{{\left( {ab} \right)}^{\dfrac{1}{2}}}}}\\ = \dfrac{1}{3}.2.{\log _{ab}}\left( {ab} \right) + \dfrac{1}{{\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}{{\log }_b}\left( {ab} \right)}}\\ = \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{{\dfrac{3}{4}\left( {{{\log }_b}a + 1} \right)}}\\ = \dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{3}.\dfrac{1}{{ - \dfrac{7}{3} + 1}} = - \dfrac{1}{3}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.