Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\sqrt 2 .\) Cạnh bên \(SA\) vuông góc
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\sqrt 2 .\) Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy. Góc giữa \(SC\) và mặt phẳng đáy bằng \({45^0}.\) Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC.\) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(DE\) và \(SC.\)
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Xác định mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(DE\) và song song với \(SC\), khi đó \(d\left( {DE;SC} \right) = d\left( {SC;\left( P \right)} \right)\).
- Đổi sang \(d\left( {A;\left( P \right)} \right)\). Dựng khoảng cách.
- Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, định lí Pytago, diện tích … để tính khoảng cách.
Trong \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(I = AC \cap DE\), trong \(\left( {SAC} \right)\) kẻ \(IG//SC\,\,\left( {G \in SA} \right)\), khi đó ta có \(DE \subset \left( {GDE} \right)//SC\).
\( \Rightarrow d\left( {SC;DE} \right) = d\left( {SC;\left( {GDE} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {GDE} \right)} \right)\).
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{IC}}{{IA}} = \dfrac{{EC}}{{AD}} = \dfrac{1}{2}\), do \(AC \cap \left( {GDE} \right) = I\) nên \(\dfrac{{d\left( {C;\left( {GDE} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {GDE} \right)} \right)}} = \dfrac{{IC}}{{IA}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow d\left( {C;\left( {GDE} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A;\left( {GDE} \right)} \right)\).
Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(AH \bot DE\,\left( {H \in DE} \right)\), trong \(\left( {GAH} \right)\) kẻ \(AK \bot GH\,\,\left( {K \in GH} \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}DE \bot AH\\DE \bot AG\end{array} \right. \Rightarrow DE \bot \left( {AGH} \right) \Rightarrow DE \bot AK\\\left\{ \begin{array}{l}AK \bot GH\\AK \bot DE\end{array} \right. \Rightarrow AK \bot \left( {GDE} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {GDE} \right)} \right) = AK\end{array}\)
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(AC\) là hình chiếu vuông góc của \(SC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\)
\( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;AC} \right) = \angle SCA = {45^0}\) \( \Rightarrow \Delta SAC\) vuông cân tại \(A\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\sqrt 2 \) nên \(AC = a\sqrt 2 .\sqrt 2 = 2a = SA\).
Áp dụng định lí Ta-lét ta có \(\dfrac{{AG}}{{AS}} = \dfrac{{AI}}{{AC}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow AG = \dfrac{{4a}}{3}\).
Ta có: \({S_{\Delta AED}} = \dfrac{1}{2}d\left( {E;AD} \right).AD = \dfrac{1}{2}AB.AD = \dfrac{1}{2}a\sqrt 2 .a\sqrt 2 = {a^2}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(CDE\) ta có \(DE = \sqrt {C{D^2} + C{E^2}} = \sqrt {2{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{2}} = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{2}\).
\( \Rightarrow AH = \dfrac{{2{S_{AED}}}}{{ED}} = \dfrac{{2{a^2}}}{{\dfrac{{a\sqrt {10} }}{2}}} = \dfrac{{2a\sqrt {10} }}{5}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(GAH\) ta có
\(AK = \dfrac{{AG.AH}}{{\sqrt {A{G^2} + A{H^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{4a}}{3}.\dfrac{{2a\sqrt {10} }}{5}}}{{\sqrt {{{\left( {\dfrac{{4a}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{2a\sqrt {10} }}{5}} \right)}^2}} }} = \dfrac{{4a\sqrt {19} }}{{19}}\)
Vậy \(d\left( {DE;SC} \right) = \dfrac{1}{2} = \dfrac{{2a\sqrt {19} }}{{19}}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
