Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(\Delta :\,\,\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{z}{2}\) và hai mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - 2y + 3z = 0,\)\(\left( Q \right):\,\,x - 2y + 3z + 4 = 0.\) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng \(\Delta \) và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right).\)

Câu 457157: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(\Delta :\,\,\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{z}{2}\) và hai mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - 2y + 3z = 0,\)\(\left( Q \right):\,\,x - 2y + 3z + 4 = 0.\) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng \(\Delta \) và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right).\)

A. \({x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = \dfrac{1}{7}\)

B. \({x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = \dfrac{1}{7}\)

C. \({x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = \dfrac{2}{7}\)

D. \({x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = \dfrac{2}{7}\)

Câu hỏi : 457157

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Gọi tâm mặt cầu là \(I\), tham số hóa tọa độ điểm \(I \in \Delta \) theo biến \(t\).

- Vì mặt cầu có tiếp xúc với cả hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) nên \(R = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = d\left( {I;\left( Q \right)} \right)\). Giải phương trình tìm \(t\) và suy ra tâm, bán kính mặt cầu.

- Mặt cầu tâm \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), bán kính \(R\) có phương trình là \({\left( {x - {x_0}} \right)^2} + {\left( {y - {y_0}} \right)^2} + {\left( {z - {z_0}} \right)^2} = {R^2}\).

Đáp án : C
(15) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Gọi tâm mặt cầu là \(I\left( {1 + t; - 1 + t;2t} \right) \in \Delta \).

Vì mặt cầu có tiếp xúc với cả hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) nên \(R = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = d\left( {I;\left( Q \right)} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{\left| {1 + t - 2\left( { - 1 + t} \right) + 3.2t} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \dfrac{{\left| {1 + t - 2\left( { - 1 + t} \right) + 3.2t + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }}\\ \Leftrightarrow \left| {5t + 3} \right| = \left| {5t + 7} \right|\\ \Leftrightarrow 5t + 3 = - 5t - 7\\ \Leftrightarrow t = - 1\end{array}\)

Khi đó mặt cầu có tâm \(I\left( {0; - 2; - 2} \right)\), bán kính \(R = \dfrac{{\left| { - 5 + 3} \right|}}{{\sqrt {14} }} = \dfrac{2}{{\sqrt {14} }}\).

Vậy bán kính mặt cầu cần tìm là \({x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = \dfrac{2}{7}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.