Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{8}{3}{x^3} + 2\ln x - mx\) đồng

Câu hỏi số 457156:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{8}{3}{x^3} + 2\ln x - mx\) đồng biến trên \(\left( {0;\,\,1} \right)?\)

A. \(5\)

B. \(10\)

C. \(6\)

D. vô số

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:457156

Phương pháp giải

- Để hàm số đồng biến trên \(\left( {0;1} \right)\) thì \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0;1} \right)\).

- Cô lập \(m\), đưa bất phương trình về dạng \(m \le g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {0;1} \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right)\).

- Lập BBT hàm số \(g\left( x \right)\) trên \(\left( {0;1} \right)\) và kết luận.

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\) nên hàm số xác định trên \(\left( {0;1} \right)\).

Ta có \(y' = 8{x^2} + \dfrac{2}{x} - m\).

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {0;1} \right)\) thì \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0;1} \right)\) \( \Leftrightarrow m \le 8{x^2} + \dfrac{2}{x}\,\,\forall x \in \left( {0;1} \right)\).

Đặt \(g\left( x \right) = 8{x^2} + \dfrac{2}{x},\,\,x \in \left( {0;1} \right)\), khi đó ta có \(m \le g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {0;1} \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right)\).

Ta có \(g'\left( x \right) = 16x - \dfrac{2}{{{x^2}}} = \dfrac{{16{x^3} - 2}}{{{x^2}}}\); \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\,\,\left( {tm} \right)\).

BBT:

Dựa vào BBT \( \Rightarrow m \le 6\). Kết hợp điều kiện \(m \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\).

Vậy có 6 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.