Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của \(m\) để hàm số \(y = {x^2} + 8\ln 2x - mx\) đồng biến trên

Câu hỏi số 457161:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của \(m\) để hàm số \(y = {x^2} + 8\ln 2x - mx\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)?

A. \(6\)

B. \(7\)

C. \(5\)

D. \(8\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:457161

Phương pháp giải

- Để hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) thì \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

- Cô lập \(m\), đưa bất phương trình về dạng \(m \le g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} g\left( x \right)\).

- Sử dụng BĐT Cô-si tìm \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} g\left( x \right)\).

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có: \(y' = 2x + 8.\dfrac{2}{{2x}} - m = 2x + \dfrac{8}{x} - m\)

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) thì \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

\( \Leftrightarrow 2x + \dfrac{8}{x} - m \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) \( \Leftrightarrow m \le 2x + \dfrac{8}{x}\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\,\,\left( * \right)\).

Đặt \(g\left( x \right) = 2x + \dfrac{8}{x}\), khi đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} g\left( x \right)\).

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(2x + \dfrac{8}{x} \ge 2\sqrt {2x.\dfrac{8}{x}} = 2.4 = 8\) \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} g\left( x \right) = 8\), dấu “=” xảy ra \( \Rightarrow 2x = \dfrac{8}{x} \Leftrightarrow x = 2\).

Từ đó ta suy ra được \(m \le 8\), kết hợp điều kiện \(m \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8} \right\}\).

Vậy có 8 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.