Biết rằng đường thẳng \(y = 1 - 2x\) cắt đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x - 2}}{{x - 1}}\) tại hai

Câu hỏi số 457181:

Thông hiểu

Biết rằng đường thẳng \(y = 1 - 2x\) cắt đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x - 2}}{{x - 1}}\) tại hai điểm phân biệt A và B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng:

A. \(20\)

B. \(\sqrt {20} \)

C. \(15\)

D. \(\sqrt {15} \)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:457181

Phương pháp giải

- Xét phương trình hoành độ giao điểm.

- Áp dụng định lí Vi-ét cho phương trình bậc hai.

- Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \).

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\dfrac{{x - 2}}{{x - 1}} = 1 - 2x\\ \Leftrightarrow x - 2 = \left( {x - 1} \right)\left( {1 - 2x} \right)\\ \Leftrightarrow x - 2 = x - 1 - 2{x^2} + 2x\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 2x - 1 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Khi đó hoành độ của điểm A và B lần lượt là \({x_A},\,\,{x_B}\) là nghiệm của phương trình (*).

Áp dụng định lí Vi-ét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1\\{x_1}{x_2} = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\).

Ta có: \(A\left( {{x_A};1 - 2{x_A}} \right);\,\,B\left( {{x_B};1 - 2{x_B}} \right)\) nên:

\(\begin{array}{l}A{B^2} = {\left( {{x_B} - {x_A}} \right)^2} + {\left( {1 - 2{x_B} - 1 + 2{x_A}} \right)^2}\\A{B^2} = {\left( {{x_B} - {x_A}} \right)^2} + 4{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)^2}\\A{B^2} = 5{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)^2}\\A{B^2} = 5\left[ {{{\left( {{x_A} + {x_B}} \right)}^2} - 4{x_A}{x_B}} \right]\\A{B^2} = 5\left[ {{1^2} - 4.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)} \right] = 15\end{array}\)

Vậy \(AB = \sqrt {15} \).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.