Hãng pha lê nổi tiếng Swarovski của Áo dự định thiết kế một viên pha lê hình cầu và đặt
Hãng pha lê nổi tiếng Swarovski của Áo dự định thiết kế một viên pha lê hình cầu và đặt vào bên trong nó \(7\) viên ruby hình cầu nhỏ hơn, trong đó viên ruby ở chính giữa có tâm trùng với tâm của viên pha lê và tiếp xúc với \(6\) viên ruby còn lại, \(6\) viên ruby còn lại có kích thước bằng nhau và nằm ở các vị trí đối xứng nhau (qua tâm của viên pha lê) và tiếp xúc với viên pha lê (như hình vẽ).
Biết viên pha lê có đường kính \(10cm\) và hãng này muốn thiết kế sao cho tổng thể tích các viên ruby bên trong là nhỏ nhất để tiết kiệm được lượng ruby. Khi đó bán kính của viên ruby ở giữa mà hãng pha lê cần thiết kế gần giá trị nào nhất sau đây?
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Gọi \(x\) là bán kính \(6\) viên pha lê có kích thước bằng nhau
\(y\) là bán kính viên pha lê chính giữa
Ta có \(2x + y = 5 \Rightarrow x = 5 - 2x\)
\(V = \dfrac{4}{3}\pi {y^3} + 6.\dfrac{4}{3}{x^3} = \dfrac{4}{3}\pi \left[ {{{\left( {5 - 2x} \right)}^3} + 6{x^3}} \right]\)
\(V = \dfrac{4}{3}\pi \left[ { - 2{x^3} + 60{x^2} - 150x + 125} \right]\).
Ta có: \(V' = \dfrac{4}{3}\pi \left( { - 6{x^2} + 120x - 150} \right)\,\,\,\left( {0 < x < \dfrac{5}{2}} \right)\)
\(V' = 0 \Leftrightarrow - 6{x^2} + 120x - 150 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 10 + 5\sqrt 3 \,\,\left( L \right)\\x = 10 - 5\sqrt 3 \,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
\(V\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = 10 - 5\sqrt 3 \Rightarrow y = - 15 + 10\sqrt 3 \approx 2,32\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
