Cho ba số \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(0 < a \le b \le c\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c}

Câu hỏi số 458163:

Vận dụng cao

Cho ba số \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(0 < a \le b \le c\). Chứng minh rằng:

\(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} \ge \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b} + \dfrac{a}{c}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:458163

Phương pháp giải

Chứng minh hiệu \(\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a}} \right) - \left( {\dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b} + \dfrac{a}{c}} \right) \ge 0\) bằng cách quy mẫu thức nhiều phân thức.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a}} \right) - \left( {\dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b} + \dfrac{a}{c}} \right)\\ = \left( {\dfrac{a}{b} - \dfrac{b}{a}} \right) + \left( {\dfrac{b}{c} - \dfrac{c}{b}} \right) + \left( {\dfrac{c}{a} - \dfrac{a}{c}} \right)\\ = \dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{{ab}} + \dfrac{{{b^2} - {c^2}}}{{bc}} + \dfrac{{{c^2} - {a^2}}}{{ac}}\\ = \dfrac{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)c + \left( {{b^2} - {c^2}} \right)a + b\left( {{c^2} - {a^2}} \right)}}{{abc}}\\ = \dfrac{{{a^2}c - {b^2}c + {b^2}a - {c^2}a + b{c^2} - b{a^2}}}{{abc}}\\ = \dfrac{{\left( {{a^2}c - {c^2}a} \right) + \left( { - {b^2}c + {b^2}a} \right) + \left( {b{c^2} - b{a^2}} \right)}}{{abc}}\\ = \dfrac{{ac\left( {a - c} \right) + {b^2}\left( {a - c} \right) + b\left( {c - a} \right)\left( {c + a} \right)}}{{abc}}\\ = \dfrac{{ac\left( {a - c} \right) + {b^2}\left( {a - c} \right) - b\left( {a - c} \right)\left( {a + c} \right)}}{{abc}}\\ = \dfrac{{\left( {a - c} \right)\left[ {ac + {b^2} - b\left( {a + c} \right)} \right]}}{{abc}}\\ = \dfrac{{\left( {a - c} \right)\left( {ac + {b^2} - ba - bc} \right)}}{{abc}}\\ = \dfrac{{\left( {a - c} \right)\left[ {\left( {ac - bc} \right) + \left( {{b^2} - ba} \right)} \right]}}{{abc}}\\ = \dfrac{{\left( {a - c} \right)\left[ {c\left( {a - b} \right) - b\left( {a - b} \right)} \right]}}{{abc}}\\ = \dfrac{{\left( {a - c} \right)\left( {c - b} \right)\left( {a - b} \right)}}{{abc}}\end{array}\)

\( \Rightarrow \left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a}} \right) - \left( {\dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b} + \dfrac{a}{c}} \right) = \dfrac{{\left( {a - c} \right)\left( {c - b} \right)\left( {a - b} \right)}}{{abc}}\)

Vì \(0 < a \le b \le c\) suy ra \(\left. \begin{array}{l}\left( {a - c} \right) \le 0\\\left( {a - b} \right) \le 0\\\left( {c - b} \right) \ge 0\end{array} \right\}\) \( \Rightarrow \left( {a - c} \right)\left( {a - b} \right)\left( {c - b} \right) \ge 0\)

Lại có: \(abc > 0\)

\( \Rightarrow \dfrac{{\left( {a - c} \right)\left( {c - b} \right)\left( {a - b} \right)}}{{abc}} \ge 0\)

Mà \(\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a}} \right) - \left( {\dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b} + \dfrac{a}{c}} \right) = \dfrac{{\left( {a - c} \right)\left( {c - b} \right)\left( {a - b} \right)}}{{abc}}\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow \left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a}} \right) - \left( {\dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b} + \dfrac{a}{c}} \right) \ge 0\)

\( \Rightarrow \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} \ge \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b} + \dfrac{a}{c}\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link