Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\,\,AB < AC,\,\,AH\) là đường cao. a) Chứng minh \(\Delta HAC\) và

Câu hỏi số 458161:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\,\,AB < AC,\,\,AH\) là đường cao.

a) Chứng minh \(\Delta HAC\) và \(\Delta ABC\) đồng dạng.

b) Chứng minh \(H{A^2} = HB.HC\)

c) Gọi \(D,\,\,E\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,BC\). Chứng minh \(CH.CB = 4D{E^2}\).

d) Gọi \(M\) là giao điểm của đường thẳng vuông góc với \(BC\) tại \(B\) và đường thẳng \(DE\). Gọi \(N\) là giao điểm của \(AH\) và \(CM\). Chứng minh \(N\) là trung điểm của \(AH\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:458161

Phương pháp giải

a) Chứng minh tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc.

b) Chứng minh tam giác đồng dạng để có tỉ số \(\dfrac{{BH}}{{AH}} = \dfrac{{AH}}{{CH}}\). Từ đó, chứng minh được \(A{H^2} = BH.CH\).

c) Áp dụng câu b \(\left( {A{H^2} = BH.CH} \right)\) và áp dụng định nghĩa đường trung bình trong \(\Delta ABC\).

d) Chứng minh \(HN = AN\) từ \(\dfrac{{HN}}{{BM}} = \dfrac{{AN}}{{PM}}\) (áp dụng hệ quả của định lý Ta-lét)

Hệ quả của định lý Ta-lét:

\(a\,{\rm{//}}\,BC\)\( \Rightarrow \dfrac{{AB'}}{{AB}} = \dfrac{{AC'}}{{AC}} = \dfrac{{BC'}}{{BC}}\)

Giải chi tiết

a) Chứng minh \(\Delta HAC\) và \(\Delta ABC\) đồng dạng.

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HAC\) có:

\(\angle BAC = \angle AHC\,\,\left( { = {{90}^ \circ }} \right)\)

\(\angle C\) chung

\( \Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta HAC\) (góc-góc)

b) Chứng minh \(H{A^2} = HB.HC\).

\(\Delta ABH\) vuông tại \(H\)\( \Rightarrow \angle BAH + \angle HBA = {90^0}\) (tổng ba góc trong tam giác)

\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)\( \Rightarrow \angle BAH + \angle CAH = {90^0}\) (tổng ba góc trong tam giác)

\( \Rightarrow \angle HBA = \angle CAH\) (vì cùng phụ với \(\angle BAH\))

Xét \(\Delta BAH\) và \(\Delta ACH\) có:

\(\angle AHB = \angle CHA\,\,\left( { = {{90}^0}} \right)\)

\(\angle BAH = \angle ACH\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow \Delta BAH \sim \Delta ACH\) (góc-góc)

\( \Rightarrow \dfrac{{BH}}{{AH}} = \dfrac{{AH}}{{CH}}\)(tỷ số cặp cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow A{H^2} = BH.CH\)(đpcm)

c) Gọi \(D,\,\,E\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,BC\). Chứng minh \(CH.CB = 4D{E^2}\).

Theo câu a) ta có: \(\Delta ABC \sim \Delta HAC\)

\( \Rightarrow \dfrac{{BC}}{{AC}} = \dfrac{{AC}}{{HC}}\)(tỷ số cặp cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow A{C^2} = HC.BC\) \(\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta ABC\) ta có:

\(D\) là trung điểm của \(AB\) (giả thiết)

\(E\) là trung điểm của \(BC\) (giả thiết)

\( \Rightarrow DE\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\) (định nghĩa đường trung bình trong tam giác)

\( \Rightarrow DE = \dfrac{1}{2}AC\) (tính chất)

\( \Leftrightarrow AC = 2DE\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\) suy ra: \({\left( {2DE} \right)^2} = HC.BC\)

\( \Leftrightarrow 4D{E^2} = HC.BC\) hay \(CH.CB = 4D{E^2}\)(đpcm).

d) Gọi \(M\) là giao điểm của đường thẳng vuông góc với \(BC\) tại \(B\) và đường thẳng \(DE\). Gọi \(N\) là giao điểm của \(AH\) và \(CM\). Chứng minh \(N\) là trung điểm của \(AH\).

Gọi \(P\) là giao điểm của \(MB\) và \(AC\).

Vì \(DE\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\) nên \(DE\,{\rm{//}}\,AC\)(tính chất đường trung bình)\( \Rightarrow ME\,{\rm{//}}\,AC\).

Xét \(\Delta BPC\) có :\(ME\,{\rm{//}}\,AC\) và \(E\) là trung điểm của \(BC\).

\( \Rightarrow \) \(M\) là trung điểm của \(BP\) (định lí đường trung bình trong tam giác)

\( \Rightarrow BM = PM\)

Ta có:

\(AH \bot BC\) tại \(H\)

\(PB \bot BC\) tại \(B\)

\( \Rightarrow AH\,{\rm{//}}\,{\rm{BP}}\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)

\( \Rightarrow HN\,{\rm{//}}\,BM,\,AN\,{\rm{//}}\,PM\) (vì \(N \in AH,\,\,M \in BP\))

Xét \(\Delta BCM\) có \(HN\,{\rm{//}}\,BM\), áp dụng hệ quả của định lý Ta-let ta có: \(\dfrac{{CN}}{{CM}} = \dfrac{{HN}}{{BM}}\)

Xét \(\Delta PCM\) có \(AN\,{\rm{//}}\,PM\), áp dụng hệ quả của định lý Ta-let ta có: \(\dfrac{{AN}}{{PM}} = \dfrac{{CN}}{{CM}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{HN}}{{BM}} = \dfrac{{AN}}{{PM}}\)\(\left( { = \dfrac{{CN}}{{CM}}} \right)\)

Mà \(PM = BM\) (vì \(M\) là trung điểm của \(BP\))

\( \Rightarrow HN = AN\)

\( \Rightarrow \) \(N\) là trung điểm của \(AH\).

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link