Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Biết SA = AB
Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Biết SA = AB = BC và diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng \(3\pi \). Thể tích khối chóp là:
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp, tính bán kính mặt cầu, từ đó suy ra độ dài cạnh SC.
- Đặt SA = AB = BC = x, sử dụng định lí Pytago giải phương trình tìm x.
- Tính thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}}\).
Gọi O là trung điểm của AC. Vì tam giác ABC vuông tại B nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Gọi I, M là trung điểm của SC, SA. Ta có IO là đường trung bình của tam giác SAC \( \Rightarrow IO//SA\).
Mà \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow IO \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow IO\) là trực của \(\left( {ABC} \right)\) \( \Rightarrow IA = IB = IC\).
Lại có IM là đường trung bình của tam giác SAC nên IM // AC \( \Rightarrow IM \bot SA\) \( \Rightarrow IM\) là trung trực của SA, do đó \(IS = IA\).
\( \Rightarrow IA = IB = IC = IS\) \( \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABC\).
\( \Rightarrow \) Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC là \(R = \dfrac{1}{2}SC\).
Ta lại có \(4\pi {R^2} = 3\pi \Leftrightarrow R = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow SC = \sqrt 3 \).
Đặt \(SA = AB = BC = x\), ta có tam giác SAB vuông cân tại A nên \(SB = x\sqrt 2 \).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\) \( \Rightarrow \Delta SBC\) vuông tại B.
\(\begin{array}{l} \Rightarrow S{B^2} + B{C^2} = S{C^2}\\ \Rightarrow 2{x^2} + {x^2} = 3\\ \Leftrightarrow x = 1\end{array}\)
Vậy thể tích khối chóp là \(V = \dfrac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.\dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac{1}{6}{x^3} = \dfrac{1}{6}\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
