Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Đáy là tam giác vuông tại A, có BC = 2AC = 2a. Đường

Câu hỏi số 460113:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Đáy là tam giác vuông tại A, có BC = 2AC = 2a. Đường thẳng AC’ tạo với mặt phẳng (BCC’B’) một góc \({30^0}\). Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho bằng;

A. \(12\pi {a^2}\)

B. \(6\pi {a^2}\)

C. \(4\pi {a^2}\)

D. \(3\pi {a^2}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:460113

Phương pháp giải

- Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.

- Xác định góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (BCC’B’) là góc giữa AC’ và hình chiếu của AC’ lên (BCC’B’).

- Dựa vào định lí Pytago, tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính bán kính mặt cầu.

- Diện tích mặt cầu bán kính R là \(S = 4\pi {R^2}\).

Giải chi tiết

Gọi O, O’ lần trung điểm của BC và B’C’.

Vì tam giác ABC, A’B’C’ lần lượt vuông tại A và A’ nên O, O’ lần lượt là tâm mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC, A’B’C’. Lại có OO’ vuông góc với hai đáy nên OO’ là trục hai đáy.

Gọi I là trung điểm của OO’ => I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ.

Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(AH \bot BC\,\,\left( {H \in BC} \right)\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\AH \bot BB'\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {BCC'B'} \right)\) \( \Rightarrow HC'\) là hình chiếu của AC’ lên (BCC’B’), do đó \(\angle \left( {AC';\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \angle \left( {AC';HC} \right) = \angle AC'H = {30^0}\).

Xét tam giác vuông ABC ta có \(AB = \sqrt {B{C^2} - A{C^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 \) \( \Rightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} = \dfrac{{a\sqrt 3 .a}}{{2a}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét tam giác AC’H vuông tại H có: \(AC' = \dfrac{{AH}}{{\sin {{30}^0}}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}:\dfrac{1}{2} = a\sqrt 3 \).

Xét tam giác vuông AA’C’ có: \(AA' = \sqrt {AC{'^2} - A'C{'^2}} = \sqrt {3{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 2 = OO'\) \( \Rightarrow IO = \dfrac{1}{2}OO' = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Xét tam giác vuông IOC có: \(IC = \sqrt {I{O^2} + O{C^2}} = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{2} + {a^2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2} = R\).

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ là: \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)^2} = 6\pi {a^2}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.