Cho \(\left( {O;\,\,R} \right)\), \(MN\) là dây không đi qua tâm. \(C,\,\,D\) là hai điểm bất kì thuộc

Câu hỏi số 461396:

Vận dụng

Cho \(\left( {O;\,\,R} \right)\), \(MN\) là dây không đi qua tâm. \(C,\,\,D\) là hai điểm bất kì thuộc dây \(MN\) (\(C,\,\,D\) không trùng với \(M,\,\,N\)). \(A\) là điểm chính giữa của cung nhỏ \(MN\). Các đường thẳng \(AC\) và \(AD\) lần lượt cắt \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(E,\,\,F\).

a) Chứng minh \(\angle ACD = \angle AFE\) và tứ giác \(CDFE\) nội tiếp.

b) Chứng minh \(A{M^2} = AC.AE\).

c) Kẻ đường kính \(AB\). Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(MCE\). Chứng minh \(M,\,\,I,\,\,B\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:461396

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp bằng cách áp dụng dấu hiệu nhận biết.

b) Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc.

c) Chứng minh \(AM \bot MI\) và \(AM \bot MB\) tại \(M\). Từ đó suy ra ba điểm \(M,\,\,I,\,\,B\) thẳng hàng.

Giải chi tiết

a) Chứng minh \(\angle ACD = \angle AFE\) và tứ giác \(CDFE\) nội tiếp.

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có:

(góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn)

(góc nội tiếp )

Vì \(A\) là điểm chính giữa của cung nhỏ \(MN\) nên (liên hệ giữa cung và dây)

\( \Rightarrow \angle ACD = \angle AFE\) (đpcm)

Theo chứng minh trên, ta có: \(\angle ACD = \angle AFE\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(CDFE\) nội tiếp (Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó)

b) Chứng minh \(A{M^2} = AC.AE\).

Xét đường tròn \(\left( O \right)\), ta có:

(góc nội tiếp bị chắn bởi cung \(AN\))

(góc nội tiếp bị chắn bởi cung \(AM\))

Ta lại có: (chứng minh trên) suy ra \(\angle AMC = \angle AEM\).

Xét \(\Delta AMC\) và \(\Delta AEM\) ta có:

\(\angle A\) chung

\(\angle AMC = \angle AEM\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow \Delta AMC = \Delta AEM\) (góc – góc)

\( \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{AE}} = \dfrac{{AC}}{{AM}}\) (tỷ lệ cặp cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow A{M^2} = AE.AC\)(đpcm)

c) Kẻ đường kính \(AB\). Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(MCE\). Chứng minh \(M,\,\,I,\,\,B\) thẳng hàng.

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) ta có:

+) \(\angle AMB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)\( \Rightarrow AM \bot MB\) tại \(M\).

+) \(\angle AMN = \angle MEA\) (góc nội tiếp bị chắn bởi hai cung bằng nhau và ).

Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác \(MCE\) ta có:

+) (góc ở tâm)

(góc nội tiếp bị chắn bởi cung \(MC\))

\( \Rightarrow \angle MIC = 2\angle MEC\)

+) \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(MCE\)\( \Rightarrow IM = IC = IE\)(=bán kính)

Vì \(IM = IC \Rightarrow \Delta MIC\) cân tại \(I\)\( \Rightarrow \angle IMC = \angle ICM\) (tính chất)

Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác \(IMC\) ta có:

\(\,\,\,\,\,\,\angle IMC + \angle ICM + \angle MIC = {180^0}\)

\( \Rightarrow 2\angle IMC + \angle MIC = {180^0}\) (vì \(\angle IMC = \angle ICM\))

\( \Rightarrow 2\angle IMC + 2\angle MEC = {180^0}\) (vì\(\angle MIC = 2\angle MEC\))

\( \Rightarrow 2\angle IMC + 2\angle AMN = {180^0}\) (vì \(\angle AMN = \angle MEA\))

\( \Rightarrow \angle IMC + \angle AMN = {90^0}\)

\( \Rightarrow \angle AMI = {90^0}\)

\( \Rightarrow AM \bot MI\) tại \(M\)

Mà \(AM \bot MB\) tại \(M\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow \) Ba điểm \(M,\,\,I,\,\,B\) thẳng hàng (đpcm)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link