Với \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức \(xy + yz + zx = 5\). Tìm giá trị

Câu hỏi số 461397:

Vận dụng cao

Với \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức \(xy + yz + zx = 5\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left( {{x^2} + 5} \right)} + \sqrt {6\left( {{y^2} + 5} \right)} + \sqrt {{z^2} + 5} }}\).

A. \(\min P = 1\)

B. \(\min P = \dfrac{2}{3}\)

C. \(\min P = \dfrac{1}{3}\)

D. \(\min P = \dfrac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:461397

Phương pháp giải

Thay \(xy + yz + zx = 5\) vào biểu thức \({x^2} + 5\) sau đó phân tích thành nhân tử.

Làm tương tự đối với \({y^2} + 5\), \({z^2} + 5\). Sau đó, áp dụng bất đẳng thức Cô-si.

Giải chi tiết

Vì \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực dương nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\x + z > 0\\y + z > 0\end{array} \right.\)

\({x^2} + 5 = {x^2} + xy + yz + xz\)\( = \left( {{x^2} + xy} \right) + \left( {yz + xz} \right)\)\( = x\left( {x + y} \right) + z\left( {x + y} \right)\)\( = \left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\)

\({y^2} + 5 = {y^2} + xy + yz + xz\)\( = \left( {{y^2} + xy} \right) + \left( {yz + xz} \right)\)\( = y\left( {x + y} \right) + z\left( {x + y} \right)\)\( = \left( {y + z} \right)\left( {x + y} \right)\)

\({z^2} + 5 = {z^2} + xy + yz + xz\)\( = \left( {{z^2} + xz} \right) + \left( {yz + xy} \right)\)\( = z\left( {x + z} \right) + y\left( {x + z} \right)\)\( = \left( {y + z} \right)\left( {x + z} \right)\)

Khi đó, ta có: \(P = \dfrac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} + \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} + \sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} }}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:

\(\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} \)\( = \sqrt {3\left( {x + y} \right).2\left( {x + z} \right)} \)\( \le \left( {\dfrac{{3\left( {x + y} \right) + 2\left( {x + z} \right)}}{2}} \right)\) \( = \dfrac{{3x + 3y + 2x + 2z}}{2}\)\( = \dfrac{{5x + 3y + 2z}}{2}\)

\(\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} \)\( = \sqrt {3\left( {x + y} \right).2\left( {y + z} \right)} \)\( \le \left( {\dfrac{{3\left( {x + y} \right) + 2\left( {y + z} \right)}}{2}} \right)\)\( = \dfrac{{3x + 3y + 2y + 2z}}{2}\)\( = \dfrac{{3x + 5y + 2z}}{2}\)

\(\sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} = \sqrt {\left( {x + z} \right).\left( {y + z} \right)} \)\( \le \dfrac{{\left( {x + z} \right) + \left( {y + z} \right)}}{2}\)\( = \dfrac{{x + y + 2z}}{2}\)

\( \Rightarrow \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} \)\( + \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} \)\( + \sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} \)\( \le \dfrac{{5x + 3y + 2z}}{2}\)\( + \dfrac{{3x + 5y + 2z}}{2}\)\( + \dfrac{{x + y + 2z}}{2}\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} \)\( + \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} \)\( + \sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} \)\( \le \dfrac{{9x + 9y + 6z}}{2}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} + \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} + \sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} }}{{\left( {3x + 3y + 2z} \right)}} \le \dfrac{3}{2}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} + \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} + \sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} }} \ge \dfrac{2}{3}\)

\( \Leftrightarrow P \ge \dfrac{2}{3}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}3\left( {x + y} \right) = 2\left( {x + z} \right)\\3\left( {x + z} \right) = 2\left( {y + z} \right)\\x + z = y + z\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y = 1\\z = 2\end{array} \right.\).

Vậy \(Min\,P = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y = 1\\z = 2\end{array} \right.\).

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link