Với \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức \(xy + yz + zx = 5\). Tìm giá trị

Câu hỏi số 461397:

Vận dụng cao

Với \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức \(xy + yz + zx = 5\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left( {{x^2} + 5} \right)} + \sqrt {6\left( {{y^2} + 5} \right)} + \sqrt {{z^2} + 5} }}\).

A. \(\min P = 1\)

B. \(\min P = \dfrac{2}{3}\)

C. \(\min P = \dfrac{1}{3}\)

D. \(\min P = \dfrac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:461397

Phương pháp giải

Thay \(xy + yz + zx = 5\) vào biểu thức \({x^2} + 5\) sau đó phân tích thành nhân tử.

Làm tương tự đối với \({y^2} + 5\), \({z^2} + 5\). Sau đó, áp dụng bất đẳng thức Cô-si.

Giải chi tiết

Vì \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực dương nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\x + z > 0\\y + z > 0\end{array} \right.\)

\({x^2} + 5 = {x^2} + xy + yz + xz\)\( = \left( {{x^2} + xy} \right) + \left( {yz + xz} \right)\)\( = x\left( {x + y} \right) + z\left( {x + y} \right)\)\( = \left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\)

\({y^2} + 5 = {y^2} + xy + yz + xz\)\( = \left( {{y^2} + xy} \right) + \left( {yz + xz} \right)\)\( = y\left( {x + y} \right) + z\left( {x + y} \right)\)\( = \left( {y + z} \right)\left( {x + y} \right)\)

\({z^2} + 5 = {z^2} + xy + yz + xz\)\( = \left( {{z^2} + xz} \right) + \left( {yz + xy} \right)\)\( = z\left( {x + z} \right) + y\left( {x + z} \right)\)\( = \left( {y + z} \right)\left( {x + z} \right)\)

Khi đó, ta có: \(P = \dfrac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} + \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} + \sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} }}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:

\(\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} \)\( = \sqrt {3\left( {x + y} \right).2\left( {x + z} \right)} \)\( \le \left( {\dfrac{{3\left( {x + y} \right) + 2\left( {x + z} \right)}}{2}} \right)\) \( = \dfrac{{3x + 3y + 2x + 2z}}{2}\)\( = \dfrac{{5x + 3y + 2z}}{2}\)

\(\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} \)\( = \sqrt {3\left( {x + y} \right).2\left( {y + z} \right)} \)\( \le \left( {\dfrac{{3\left( {x + y} \right) + 2\left( {y + z} \right)}}{2}} \right)\)\( = \dfrac{{3x + 3y + 2y + 2z}}{2}\)\( = \dfrac{{3x + 5y + 2z}}{2}\)

\(\sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} = \sqrt {\left( {x + z} \right).\left( {y + z} \right)} \)\( \le \dfrac{{\left( {x + z} \right) + \left( {y + z} \right)}}{2}\)\( = \dfrac{{x + y + 2z}}{2}\)

\( \Rightarrow \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} \)\( + \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} \)\( + \sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} \)\( \le \dfrac{{5x + 3y + 2z}}{2}\)\( + \dfrac{{3x + 5y + 2z}}{2}\)\( + \dfrac{{x + y + 2z}}{2}\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} \)\( + \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} \)\( + \sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} \)\( \le \dfrac{{9x + 9y + 6z}}{2}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} + \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} + \sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} }}{{\left( {3x + 3y + 2z} \right)}} \le \dfrac{3}{2}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} + \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} + \sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} }} \ge \dfrac{2}{3}\)

\( \Leftrightarrow P \ge \dfrac{2}{3}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}3\left( {x + y} \right) = 2\left( {x + z} \right)\\3\left( {x + z} \right) = 2\left( {y + z} \right)\\x + z = y + z\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y = 1\\z = 2\end{array} \right.\).

Vậy \(Min\,P = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y = 1\\z = 2\end{array} \right.\).

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link