Cho \(X\) là một tập hợp gồm 506 số nguyên dương đôi một khác nhau, mỗi số không lớn hơn

Câu hỏi số 462743:

Vận dụng cao

Cho \(X\) là một tập hợp gồm 506 số nguyên dương đôi một khác nhau, mỗi số không lớn hơn 2020. Chứng minh trong tập hợp \(X\) luôn tìm được hai phần tử \(x,y\) sao cho \(x - y\) thuộc tập hợp \(E = \left\{ {5;10;15} \right\}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:462743

Phương pháp giải

Ta chia các số nguyên từ 1 đến 2020 thành 101 nhóm

\(\left\{ {1;2;.....;20} \right\};\)\(\left\{ {21;22;.....;40} \right\};....;\)\(\left\{ {1981;1982;.....;2000} \right\};\)\(\left\{ {2001;2002;.....;2020} \right\}\)

Có \(506 = 101.5 + 1\). Từ đây sử dụng nguyên lý Dirichlet.

Giải chi tiết

Ta chia các số nguyên từ 1 đến 2020 thành 101 nhóm

\(\left\{ {1;2;.....;20} \right\};\)\(\left\{ {21;22;.....;40} \right\};\)\(....;\left\{ {1981;1982;.....;2000} \right\};\)\(\left\{ {2001;2002;.....;2020} \right\}.\)

Có \(506 = 101.5 + 1\).

Xếp\(506\)số nguyên dương đã cho vào 101 nhóm trên thì tồn tại ít nhất một nhóm có chứa ít nhất 6 số nằm trong 506 số đã cho.

Hiệu của hai số \(a,b\,\left( {a > b} \right)\)bất kỳ trong mỗi nhóm trên luôn lớn hơn 0, nhỏ hơn 20. Trong 6 số tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 5. Giả sử hai số đó là \(x,y\left( {x > y} \right)\)\( \Rightarrow \left( {x - y} \right) \vdots 5\)

Suy ra \(x - y \in \left\{ {5;10;15} \right\}\), ta có điều phải chứng minh.

Câu 3 (VD)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link