Phân tích số \(210720202021\) thành tổng của \(k\) số tự nhiên \({a_1};{a_2};....;{a_k}\). Đặt \(S =

Câu hỏi số 462742:

Vận dụng cao

Phân tích số \(210720202021\) thành tổng của \(k\) số tự nhiên \({a_1};{a_2};....;{a_k}\).

Đặt \(S = a_1^5 + a_2^5 + ...... + a_k^5.\) Tìm chữ số tận cùng của \(S\).

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. \(5\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:462742

Phương pháp giải

Ta chứng minh với mọi số tự nhiên \(n\) thì: \(\left( {{n^5} - n} \right) \vdots 10\)

Giải chi tiết

Ta chứng minh với mọi số tự nhiên \(n\) thì: \(\left( {{n^5} - n} \right) \vdots 10\)

Thật vậy :

\(\begin{array}{l}\left( {{n^5} - n} \right) = n\left( {{n^4} - 1} \right) = n\left( {{n^2} - 1} \right)\left( {{n^2} + 1} \right) = \left[ {n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)} \right]\left( {{n^2} - 4 + 5} \right)\\ = n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} - 4} \right) + 5n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\\ = n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n + 2} \right) + 5n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\\ = \left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) + 5n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\end{array}\)

Vì \(\left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên \(\left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) \vdots 5\)

\( \Rightarrow \left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\)\( + 5n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right) \vdots 5\)

Lại có \(n\left( {n - 1} \right)\) là tích của hai số nguyên liên tiếp nên \(n\left( {n - 1} \right) \vdots 2\)

\( \Rightarrow \left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\)\( + 5n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right) \vdots 2\)

Lại có \(2\) và \(5\)là hai số nguyên tố cùng nhau nên \(\left( {{n^5} - n} \right) \vdots 10\)

Có \(\left( {a_1^5 + a_2^5 + ...... + a_k^5} \right) - \left( {{a_1} + {a_2} + ... + {a_k}} \right)\)\( = \left( {a_1^5 - {a_1}} \right) + \left( {a_2^5 - {a_2}} \right) + ... + \left( {a_k^5 - {a_k}} \right)\)

Suy ra \(S - \left( {{a_1} + {a_2} + ... + {a_k}} \right)\) chia hết cho 10

\( \Rightarrow \left( {S - 210720202021} \right)\,\, \vdots \,\,10\)\( \Rightarrow S\) có chữ số tận cùng là \(1.\)

Vậy \(S\) có chữ số tận cùng là \(1.\)

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link