Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 3. Chứng minh rằng: + ≥

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 46330:

Vận dụng cao

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 3.

Chứng minh rằng: $\frac{1}{xyz}$ + $\frac{4}{(x+y)(y+z)(z+x)}$ ≥ $\frac{3}{2}$

A. click để xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:46330

Giải chi tiết

Áp dụng BDT Cosi cho 3 số dương $\frac{1}{2xyz}$ , $\frac{1}{2xyz}$ , $\frac{4}{(x+y)(y+z)(z+x)}$ ta được:

$\frac{1}{xyz}$ + $\frac{4}{(x+y)(y+z)(z+x)}$

= - $\frac{1}{2xyz}$ + $\frac{1}{2xyz}$ + $\frac{4}{(x+y)(y+z)(z+x)}$

≥ $\frac{3}{\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}(x+y)(y+z)(z+x)}}$

Ta có: x²y²z²(x + y)(y + z)(z + x) = xyz(zx + yz)(xy + zx)(yz + xy)

Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 3 số dương xy, yz, zx:

xy.yz.zx ≤ $\left ( \frac{xy+yz+zx}{3} \right )^{3}$ = 1 => x²y²z² ≤ 1 => xyz ≤ 1 (1)

Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 3 số dương zx + yz, xy + zx, yz + xy:

(zx + yz)(xy + zx)(yz + xy) ≤ $\left [ \frac{(zx+yz)+(xy+zx)+(yz+xy)}{3} \right ]^{3}$ = 8 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: x²y²z²(x + y)(y + z)(z + x) ≤ 8

Vậy $\frac{1}{xyz}$ + $\frac{4}{(x+y)(y+z)(z+x)}$ ≥ $\frac{3}{\sqrt[3]{8}}$ ≥ $\frac{3}{2}$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.