Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, mặt bên \(SAD\) là tam giác đều cạnh

Câu hỏi số 463475:

Thông hiểu

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, mặt bên \(SAD\) là tam giác đều cạnh \(4a\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Góc giữa mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \({30^0}\). Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) là:

A. \(24\sqrt 3 {a^3}\)

B. \(16\sqrt 3 {a^3}\)

C. \(4\sqrt 3 {a^3}\)

D. \(48\sqrt 3 {a^3}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:463475

Phương pháp giải

- Gọi \(H\) là trung điểm của \(AD\), chứng minh \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\), sử dụng định lí \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \bot \left( Q \right) = d\\a \subset \left( P \right),\,\,a \bot d\end{array} \right. \Rightarrow a \bot \left( Q \right)\).

- Xác định góc giữa \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính độ dài đường cao \(SH\).

- Tính thể tích khối chóp \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}}\).

Giải chi tiết

Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là trung điểm của \(AD,\,\,BC\). Khi đó ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right) = AD\\SH \subset \left( {SAD} \right),\,\,SH \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot HK\\BC \bot SH\,\,\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SHK} \right) \Rightarrow BC \bot SK\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\SK \subset \left( {SBC} \right),\,\,SK \bot BC\,\,\left( {cmt} \right)\\HK \subset \left( {ABCD} \right),\,\,HK \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SK;HK} \right) = \angle SKH = {30^0}\).

Vì \(\Delta SAD\) đều cạnh \(4a\) nên \(SH = \dfrac{{4a.\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3 a\).

Xét tam giác vuông \(SHK\)có: \(HK = SH.\cot {30^0} = 6a\).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.2\sqrt 3 a.6a.4a = 16\sqrt 3 {a^3}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.