Cho bất phương trình \(\log _2^2\left( {2x} \right) - 2\left( {m + 1} \right){\log _2}x - 2 < 0\).

Câu hỏi số 463484:

Vận dụng

Cho bất phương trình \(\log _2^2\left( {2x} \right) - 2\left( {m + 1} \right){\log _2}x - 2 < 0\). Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\).

A. \(m \in \left( { - \dfrac{3}{4};0} \right)\)

B. \(m \in \left( { - \dfrac{3}{4}; + \infty } \right)\)

C. \(m \in \left( {0; + \infty } \right)\)

D. \(m \in \left( { - \infty ;0} \right)\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:463484

Phương pháp giải

- Đặt \(t = {\log _2}x\), tìm khoảng giá trị của \(t\).

- Đưa bất phương trình về dạng \(m > f\left( t \right)\,\,\forall t \in \left( {a;b} \right)\).

- Chứng minh hàm số \(f\left( t \right)\) đơn điệu trên \(\left( {a;b} \right)\) và tìm \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( t \right)\).

Giải chi tiết

Đặt \(t = {\log _2}x\), do \(x \in \left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\) nên \(t > \dfrac{1}{2}.\) Khi đó bất phương trình tương đương:

\({\left( {t + 1} \right)^2} - 2\left( {m + 1} \right)t - 2 < 0 \Leftrightarrow {t^2} - 2mt - 1 < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{t^2} - 1}}{{2t}} < m\)

Yêu cầu bài toán trở thành bất phương trình trên có nghiệm \(t \ge \dfrac{1}{2}\). Đặt \(f\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} - 1}}{{2t}}\). Ta có:

\(f'\left( t \right) = \left( {\dfrac{t}{2} - \dfrac{1}{{2t}}} \right)' = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{2{t^2}}} > 0,\,\,t > \dfrac{1}{2}\)

Do đó yêu cầu bài toán tương đương \(m > \mathop {\min }\limits_{\left[ {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)} f\left( t \right) = f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = - \dfrac{3}{4}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.