Cho hàm số \(f\left( x \right) = x + \dfrac{1}{x}\). Cho điểm \(M\left( {a;b} \right)\) sao cho có đúng hai

Câu hỏi số 463498:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right) = x + \dfrac{1}{x}\). Cho điểm \(M\left( {a;b} \right)\) sao cho có đúng hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua \(M\), đồng thời hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau. Biết điểm \(M\) luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn đó là:

A. \(2\)

B. \(4\)

C. \(1\)

D. \(\sqrt 2 \)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:463498

Giải chi tiết

Giả sử điểm \(A\left( {t;\,\,\dfrac{{{t^2} + 1}}{t}} \right)\,\,\left( {t \ne 0} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).

Ta có: \(f'\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} - 1}}{x}\) nên phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại \(A\) là: \(y = \dfrac{{{t^2} - 1}}{t}\left( {x - t} \right) + \dfrac{{{t^2} + 1}}{t}\)

Tiếp tuyến trên đi qua \(M\) khi và chỉ khi:

\(b = \dfrac{{{t^2} - 1}}{t}\left( {a - t} \right) + \dfrac{{{t^2} + 1}}{t} \Leftrightarrow \left( {a - b} \right){t^2} + 2t - a = 0\,\,\,\left( * \right)\)

Yêu cầu bài toán tương đương phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt \({t_1},\,\,{t_2}\) khác 0 thỏa mãn hay \(f'\left( {{t_1}} \right).f'\left( {{t_2}} \right) = - 1\)\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \ne b}\\{a \ne 0}\\{\Delta ' = 1 + a\left( {a - b} \right) > 0}\\{\dfrac{{t_1^2 - 1}}{{{t_1}}}.\dfrac{{t_2^2 - 1}}{{{t_2}}} = - 1}\end{array}} \right.\)

Theo định lí Vi-ét ta có \({t_1} + {t_2} = \dfrac{2}{{b - a}},\,\,{t_1}{t_2} = \dfrac{a}{{b - a}}\). Suy ra

\(\dfrac{{t_1^2 - 1}}{{{t_2}}} = - 17 \Leftrightarrow 2t_1^2t_2^2 - \left( {t_1^2 + t_2^2} \right) + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{2{a^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} + \dfrac{{2a}}{{b - a}} - \dfrac{4}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow 2{a^2} + 2a(b - a( - 4 + {\left( {a - b} \right)^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 4\)

Do \(a \ne 0\) nên từ \({a^2} + {b^2} = 4\) ta suy ra \(\left| b \right| < 2\), do đó: \({a^2} + 1 > 2\left| a \right| > \left| {ab} \right| \ge ab\)

Như vậy tập hợp các điểm \(M\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + {b^2} = 4}\\{a \ne b}\\{a \ne 0}\end{array}} \right.\)

Tức là đường tròn tâm \(O\), bán kính 2 trừ bỏ đi các điểm \(B\left( {0;2} \right)\), \(C\left( {0; - 2} \right)\), \(D\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\) và \(E\left( { - \sqrt 2 ; - \sqrt 2 } \right)\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.