Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^3} - 3{x^2} + \left( {2m - 2} \right)x

Câu hỏi số 463639:

Vận dụng cao

Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^3} - 3{x^2} + \left( {2m - 2} \right)x + m - 3 = 0\) có ba nghiệm \({x_1},\,\,{x_2},\,\,{x_3}\) thỏa mãn \({x_1} < - 1 < {x_2} < {x_3}\).

A. \(m \le - 5\).

B. \(m < - 5\).

C. \(m > - 5\).

D. \(m \ge - 5\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:463639

Giải chi tiết

Điều kiện cần:

Đặt \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + \left( {2m - 2} \right)x + m - 3\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Từ giả thiết phương trình có nghiệm \({x_1} < - 1 < {x_2} < {x_3}\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty \) nên \(f\left( { - 1} \right) = - m - 5 > 0 \Leftrightarrow m < - 5\).

Điều kiện đủ:

Giả sử \(m < - 5\). Khi đó ta có \(f\left( { - 1} \right) = - m - 5 > 0\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty \) và \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên phương trình có nghiệm \({x_1} \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\) hay \({x_1} < - 1\).

Ta có: \(f\left( 0 \right) = m - 3 < 0\) (do \(m < - 5\)) \( \Rightarrow f\left( { - 1} \right).f\left( 0 \right) < 0\) \( \Rightarrow \) Phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm \({x_2} \in \left( { - 1;0} \right)\) hay \( - 1 < {x_2} < 0\).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \) và \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên phương trình có nghiệm \({x_3} \in \left( {0; + \infty } \right)\) hay \({x_3} > 0\).

Khi đó với \(m < - 5\) thì phương trình có 3 nghiệm thỏa mãn \({x_1} < - 1 < {x_2} < 0 < {x_3}\) hay \({x_1} < - 1 < {x_2} < {x_3}\).

Vậy điều kiện cần và đủ để phương trình có 3 nghiệm \({x_1},\,\,{x_2},\,\,{x_3}\) thỏa mãn \({x_1} < - 1 < {x_2} < {x_3}\) là \(m < - 5\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.