Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^3} - 3{x^2} + \left( {2m - 2} \right)x + m - 3 = 0\) có ba nghiệm \({x_1},\,\,{x_2},\,\,{x_3}\) thỏa mãn \({x_1} < - 1 < {x_2} < {x_3}\).

Câu 463639: Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^3} - 3{x^2} + \left( {2m - 2} \right)x + m - 3 = 0\) có ba nghiệm \({x_1},\,\,{x_2},\,\,{x_3}\) thỏa mãn \({x_1} < - 1 < {x_2} < {x_3}\).

A. \(m \le - 5\).

B. \(m < - 5\).

C. \(m > - 5\).

D. \(m \ge - 5\).

Câu hỏi : 463639

Đáp án : B
(2) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Điều kiện cần:

Đặt \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + \left( {2m - 2} \right)x + m - 3\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Từ giả thiết phương trình có nghiệm \({x_1} < - 1 < {x_2} < {x_3}\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty \) nên \(f\left( { - 1} \right) = - m - 5 > 0 \Leftrightarrow m < - 5\).

Điều kiện đủ:

Giả sử \(m < - 5\). Khi đó ta có \(f\left( { - 1} \right) = - m - 5 > 0\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty \) và \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên phương trình có nghiệm \({x_1} \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\) hay \({x_1} < - 1\).

Ta có: \(f\left( 0 \right) = m - 3 < 0\) (do \(m < - 5\)) \( \Rightarrow f\left( { - 1} \right).f\left( 0 \right) < 0\) \( \Rightarrow \) Phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm \({x_2} \in \left( { - 1;0} \right)\) hay \( - 1 < {x_2} < 0\).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \) và \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên phương trình có nghiệm \({x_3} \in \left( {0; + \infty } \right)\) hay \({x_3} > 0\).

Khi đó với \(m < - 5\) thì phương trình có 3 nghiệm thỏa mãn \({x_1} < - 1 < {x_2} < 0 < {x_3}\) hay \({x_1} < - 1 < {x_2} < {x_3}\).

Vậy điều kiện cần và đủ để phương trình có 3 nghiệm \({x_1},\,\,{x_2},\,\,{x_3}\) thỏa mãn \({x_1} < - 1 < {x_2} < {x_3}\) là \(m < - 5\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.