Cho tứ diện đều \(S.ABC\) cạnh \(a\). Gọi \(I,\,\,J\) lần lượt là trọng tâm tam giác

Câu hỏi số 463638:

Vận dụng

Cho tứ diện đều \(S.ABC\) cạnh \(a\). Gọi \(I,\,\,J\) lần lượt là trọng tâm tam giác \(SBA,\,\,SBC\), \(K\) là điểm trên cạnh \(BC\) sao cho \(BC = 3CK\).

a) Chứng minh \(\left( {IJK} \right)//\left( {SAC} \right)\).

b) Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( {IJK} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:463638

Phương pháp giải

a) Sử dụng định lí: Mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó song song với nhau.

b) Xác định giao tuyến của \(\left( {IJK} \right)\) với các mặt của tứ diện.

Chứng minh thiết diện là tam giác đồng dạng với tam giác \(SAC\).

Sử dụng công thức tính nhanh diện tích tam giác đều cạnh \(a\) là \(S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Giải chi tiết

a) Gọi \(M,\,\,N,\,\,H\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,BC,\,\,SC\).

Vì \(I,\,\,J\) lần lượt là trọng tâm tam giác \(SBA,\,\,SBC\) nên \(\dfrac{{SI}}{{SM}} = \dfrac{{SJ}}{{SN}} = \dfrac{2}{3}\) \( \Rightarrow IJ//MN//AC\) (định lí Ta-lét đảo).

Ta có: \(BC = 3CK \Rightarrow \dfrac{{CK}}{{BC}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{{CK}}{{NC}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{{NK}}{{NC}} = \dfrac{1}{3} = \dfrac{{NJ}}{{NS}}\) \( \Rightarrow JK//SC\) (định lí Ta-lét đảo).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}IJ//AC\\JK//SC\\IJ \cap JK \subset \left( {IJK} \right)\\AC \cap SC \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {IJK} \right)//\left( {SAC} \right)\).

b) Trong \(\left( {SBC} \right)\) gọi \(E = JK \cap SB\), trong \(\left( {SAB} \right)\) gọi \(F = EI \cap AB\).

Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( {IJK} \right)\) là tam giác \(EFK\).

Ta có: \(\dfrac{{EK}}{{SC}} = \dfrac{{EF}}{{SA}} = \dfrac{{FK}}{{AC}} = \dfrac{2}{3}\) \( \Rightarrow \Delta EFK \sim \Delta SAC\) theo tỉ số \(k = \dfrac{2}{3}\).

\( \Rightarrow {S_{EFK}} = \dfrac{4}{9}{S_{SAC}}\).

Vì \(S.ABC\) là tứ diện đều cạnh \(a \Rightarrow \Delta SAC\) đều cạnh \(a\) \( \Rightarrow {S_{SAC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Vậy \({S_{EFK}} = \dfrac{4}{9}{S_{SAC}} = \dfrac{4}{9}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{9}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.