Cho tứ diện đều \(S.ABC\) cạnh \(a\). Gọi \(I,\,\,J\) lần lượt là trọng tâm tam giác

Câu hỏi số 463638:

Vận dụng

Cho tứ diện đều \(S.ABC\) cạnh \(a\). Gọi \(I,\,\,J\) lần lượt là trọng tâm tam giác \(SBA,\,\,SBC\), \(K\) là điểm trên cạnh \(BC\) sao cho \(BC = 3CK\).

a) Chứng minh \(\left( {IJK} \right)//\left( {SAC} \right)\).

b) Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( {IJK} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:463638

Phương pháp giải

a) Sử dụng định lí: Mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó song song với nhau.

b) Xác định giao tuyến của \(\left( {IJK} \right)\) với các mặt của tứ diện.

Chứng minh thiết diện là tam giác đồng dạng với tam giác \(SAC\).

Sử dụng công thức tính nhanh diện tích tam giác đều cạnh \(a\) là \(S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Giải chi tiết

a) Gọi \(M,\,\,N,\,\,H\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,BC,\,\,SC\).

Vì \(I,\,\,J\) lần lượt là trọng tâm tam giác \(SBA,\,\,SBC\) nên \(\dfrac{{SI}}{{SM}} = \dfrac{{SJ}}{{SN}} = \dfrac{2}{3}\) \( \Rightarrow IJ//MN//AC\) (định lí Ta-lét đảo).

Ta có: \(BC = 3CK \Rightarrow \dfrac{{CK}}{{BC}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{{CK}}{{NC}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{{NK}}{{NC}} = \dfrac{1}{3} = \dfrac{{NJ}}{{NS}}\) \( \Rightarrow JK//SC\) (định lí Ta-lét đảo).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}IJ//AC\\JK//SC\\IJ \cap JK \subset \left( {IJK} \right)\\AC \cap SC \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {IJK} \right)//\left( {SAC} \right)\).

b) Trong \(\left( {SBC} \right)\) gọi \(E = JK \cap SB\), trong \(\left( {SAB} \right)\) gọi \(F = EI \cap AB\).

Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( {IJK} \right)\) là tam giác \(EFK\).

Ta có: \(\dfrac{{EK}}{{SC}} = \dfrac{{EF}}{{SA}} = \dfrac{{FK}}{{AC}} = \dfrac{2}{3}\) \( \Rightarrow \Delta EFK \sim \Delta SAC\) theo tỉ số \(k = \dfrac{2}{3}\).

\( \Rightarrow {S_{EFK}} = \dfrac{4}{9}{S_{SAC}}\).

Vì \(S.ABC\) là tứ diện đều cạnh \(a \Rightarrow \Delta SAC\) đều cạnh \(a\) \( \Rightarrow {S_{SAC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Vậy \({S_{EFK}} = \dfrac{4}{9}{S_{SAC}} = \dfrac{4}{9}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{9}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.