Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Cho tứ diện đều \(S.ABC\) cạnh \(a\). Gọi \(I,\,\,J\) lần lượt là trọng tâm tam giác \(SBA,\,\,SBC\), \(K\) là điểm trên cạnh \(BC\) sao cho \(BC = 3CK\).
a) Chứng minh \(\left( {IJK} \right)//\left( {SAC} \right)\).
b) Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( {IJK} \right)\).
Câu 463638: Cho tứ diện đều \(S.ABC\) cạnh \(a\). Gọi \(I,\,\,J\) lần lượt là trọng tâm tam giác \(SBA,\,\,SBC\), \(K\) là điểm trên cạnh \(BC\) sao cho \(BC = 3CK\).
a) Chứng minh \(\left( {IJK} \right)//\left( {SAC} \right)\).
b) Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( {IJK} \right)\).
Quảng cáo
a) Sử dụng định lí: Mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó song song với nhau.
b) Xác định giao tuyến của \(\left( {IJK} \right)\) với các mặt của tứ diện.
Chứng minh thiết diện là tam giác đồng dạng với tam giác \(SAC\).
Sử dụng công thức tính nhanh diện tích tam giác đều cạnh \(a\) là \(S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
-
Giải chi tiết:
a) Gọi \(M,\,\,N,\,\,H\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,BC,\,\,SC\).
Vì \(I,\,\,J\) lần lượt là trọng tâm tam giác \(SBA,\,\,SBC\) nên \(\dfrac{{SI}}{{SM}} = \dfrac{{SJ}}{{SN}} = \dfrac{2}{3}\) \( \Rightarrow IJ//MN//AC\) (định lí Ta-lét đảo).
Ta có: \(BC = 3CK \Rightarrow \dfrac{{CK}}{{BC}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{{CK}}{{NC}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{{NK}}{{NC}} = \dfrac{1}{3} = \dfrac{{NJ}}{{NS}}\) \( \Rightarrow JK//SC\) (định lí Ta-lét đảo).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}IJ//AC\\JK//SC\\IJ \cap JK \subset \left( {IJK} \right)\\AC \cap SC \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {IJK} \right)//\left( {SAC} \right)\).
b) Trong \(\left( {SBC} \right)\) gọi \(E = JK \cap SB\), trong \(\left( {SAB} \right)\) gọi \(F = EI \cap AB\).
Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( {IJK} \right)\) là tam giác \(EFK\).
Ta có: \(\dfrac{{EK}}{{SC}} = \dfrac{{EF}}{{SA}} = \dfrac{{FK}}{{AC}} = \dfrac{2}{3}\) \( \Rightarrow \Delta EFK \sim \Delta SAC\) theo tỉ số \(k = \dfrac{2}{3}\).
\( \Rightarrow {S_{EFK}} = \dfrac{4}{9}{S_{SAC}}\).
Vì \(S.ABC\) là tứ diện đều cạnh \(a \Rightarrow \Delta SAC\) đều cạnh \(a\) \( \Rightarrow {S_{SAC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
Vậy \({S_{EFK}} = \dfrac{4}{9}{S_{SAC}} = \dfrac{4}{9}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{9}\).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
