Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi

Cho \(a\) là số thực dương thỏa mãn \(a \ge 2\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = a{}^2 + \dfrac{1}{{{a^2}}}\) là

Câu 464328: Cho \(a\) là số thực dương thỏa mãn \(a \ge 2\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = a{}^2 + \dfrac{1}{{{a^2}}}\) là

A. \(2\)

B. \(4\)

C. \(\dfrac{{15}}{4}\)

D. \(\dfrac{{17}}{4}\)

Câu hỏi : 464328
Phương pháp giải:

Áp dụng


+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho \(2\) bộ số tùy ý \(a,\,\,b\) và \(x,\,\,y\) ta có: \(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge {\left( {ax + by} \right)^2}\)


Đẳng thức xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y}\)


+ Sau đó, áp dụng bất đẳng thức Cô-si: \(\sqrt {ab}  \le \dfrac{{a + b}}{2}\,\,\forall a,\,\,b \ge 0\)


Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b\).

  • Đáp án : D
    (6) bình luận (0) lời giải

    Giải chi tiết:

    Theo đề bài, ta có:

    \(\begin{array}{l}A = {a^2} + \dfrac{1}{{{a^2}}}\\ = \dfrac{1}{{17}}.\left( {{a^2} + \dfrac{1}{{{a^2}}}} \right).17\\ = \dfrac{1}{{17}}.\left( {{a^2} + \dfrac{1}{{{a^2}}}} \right).\left( {{4^2} + 1} \right)\end{array}\)

    Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với hai bộ số \(\left( {{a^2},\dfrac{1}{{{a^2}}}} \right)\) và \(\left( {{4^2},1} \right)\)

    \(\dfrac{1}{{17}}.\left( {{a^2} + \dfrac{1}{{{a^2}}}} \right).\left( {{4^2} + 1} \right)\)\( \ge \dfrac{1}{{17}}{\left( {4a + \dfrac{1}{a}} \right)^2}\,\)

    \( \Rightarrow A \ge 17.{\left( {\dfrac{a}{4} + \dfrac{1}{a} + \dfrac{{15}}{4}a} \right)^2} \ge 17.{\left( {1 + \dfrac{{15}}{4}a} \right)^2} \ge 17.{\left( {1 + \dfrac{{15}}{2}} \right)^2} = \dfrac{{17}}{4}\)

    Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow a = 2\).

    Vậy \(\min A = \dfrac{{17}}{4} \Leftrightarrow a = 2\).

    Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Xem bình luận

2k8 Tham gia ngay group chia sẻ, trao đổi tài liệu học tập miễn phí

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com