Cho \(a\) là số thực dương thỏa mãn \(a \ge 2\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = a{}^2 +

Câu hỏi số 464328:

Vận dụng cao

Cho \(a\) là số thực dương thỏa mãn \(a \ge 2\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = a{}^2 + \dfrac{1}{{{a^2}}}\) là

A. \(2\)

B. \(4\)

C. \(\dfrac{{15}}{4}\)

D. \(\dfrac{{17}}{4}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:464328

Phương pháp giải

Áp dụng

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho \(2\) bộ số tùy ý \(a,\,\,b\) và \(x,\,\,y\) ta có: \(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge {\left( {ax + by} \right)^2}\)

Đẳng thức xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y}\)

+ Sau đó, áp dụng bất đẳng thức Cô-si: \(\sqrt {ab} \le \dfrac{{a + b}}{2}\,\,\forall a,\,\,b \ge 0\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b\).

Giải chi tiết

Theo đề bài, ta có:

\(\begin{array}{l}A = {a^2} + \dfrac{1}{{{a^2}}}\\ = \dfrac{1}{{17}}.\left( {{a^2} + \dfrac{1}{{{a^2}}}} \right).17\\ = \dfrac{1}{{17}}.\left( {{a^2} + \dfrac{1}{{{a^2}}}} \right).\left( {{4^2} + 1} \right)\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với hai bộ số \(\left( {{a^2},\dfrac{1}{{{a^2}}}} \right)\) và \(\left( {{4^2},1} \right)\)

\(\dfrac{1}{{17}}.\left( {{a^2} + \dfrac{1}{{{a^2}}}} \right).\left( {{4^2} + 1} \right)\)\( \ge \dfrac{1}{{17}}{\left( {4a + \dfrac{1}{a}} \right)^2}\,\)

\( \Rightarrow A \ge 17.{\left( {\dfrac{a}{4} + \dfrac{1}{a} + \dfrac{{15}}{4}a} \right)^2} \ge 17.{\left( {1 + \dfrac{{15}}{4}a} \right)^2} \ge 17.{\left( {1 + \dfrac{{15}}{2}} \right)^2} = \dfrac{{17}}{4}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow a = 2\).

Vậy \(\min A = \dfrac{{17}}{4} \Leftrightarrow a = 2\).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.