Cho \(x,\,\,y\) là hai số thực thỏa mãn \(x > y\) và \(xy = 1000\). Biết biểu thức \(F =

Câu hỏi số 464327:

Vận dụng cao

Cho \(x,\,\,y\) là hai số thực thỏa mãn \(x > y\) và \(xy = 1000\). Biết biểu thức \(F = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{x - y}}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = a\\y = b\end{array} \right.\). Giá trị của biểu thức \(P = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{1000}}\) là

A. \(2\)

B. \(3\)

C. \(4\)

D. \(5\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:464327

Phương pháp giải

Biến đổi biểu thức \(F\) về dạng \(F = x - y + \dfrac{{2000}}{{x - y}}\) và áp dụng BĐT Cô-si.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}F = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{x - y}} = \dfrac{{{x^2} - 2xy + {y^2} + 2xy}}{{x - y}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{{{\left( {x - y} \right)}^2} + 2.1000}}{{x - y}} = \dfrac{{{{\left( {x - y} \right)}^2} + 2000}}{{x - y}}\\\,\,\,\, = x - y + \dfrac{{2000}}{{x - y}}.\end{array}\)

Vì \(x > y\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x - y > 0\,\\\dfrac{{2000}}{{x - y}} > 0\end{array} \right.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\left( {x - y} \right)\) và \(\dfrac{{2000}}{{x - y}}\) ta được:

\(\begin{array}{l}F = \left( {x - y} \right) + \dfrac{{2000}}{{x - y}} \ge 2.\sqrt {\left( {x - y} \right).\dfrac{{2000}}{{x - y}}} \\ \Leftrightarrow F = \left( {x - y} \right) + \dfrac{{2000}}{{x - y}} \ge 40\sqrt 5 \end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = \dfrac{{2000}}{{x - y}}\\xy = 1000\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - y} \right)^2} = 2000\\xy = 1000\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 20\sqrt[{}]{5}\\xy = 1000\end{array} \right.\)

\(\min F = 40\sqrt 5 \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 20\sqrt[{}]{5}\\xy = 1000\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 20\sqrt[{}]{5}\\ab = 1000\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2} + 2ab = {\left( {20\sqrt 5 } \right)^2} + 2000 = 4000\)
Với \({a^2} + {b^2} = 4000\)\( \Rightarrow P = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{1000}} = \dfrac{{4000}}{{1000}} = 4\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10