Cho \(x,\,\,y\) là hai số thực thỏa mãn \(x > y\) và \(xy = 1000\). Biết biểu thức \(F =

Câu hỏi số 464327:

Vận dụng cao

Cho \(x,\,\,y\) là hai số thực thỏa mãn \(x > y\) và \(xy = 1000\). Biết biểu thức \(F = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{x - y}}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = a\\y = b\end{array} \right.\). Giá trị của biểu thức \(P = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{1000}}\) là

A. \(2\)

B. \(3\)

C. \(4\)

D. \(5\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:464327

Phương pháp giải

Biến đổi biểu thức \(F\) về dạng \(F = x - y + \dfrac{{2000}}{{x - y}}\) và áp dụng BĐT Cô-si.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}F = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{x - y}} = \dfrac{{{x^2} - 2xy + {y^2} + 2xy}}{{x - y}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{{{\left( {x - y} \right)}^2} + 2.1000}}{{x - y}} = \dfrac{{{{\left( {x - y} \right)}^2} + 2000}}{{x - y}}\\\,\,\,\, = x - y + \dfrac{{2000}}{{x - y}}.\end{array}\)

Vì \(x > y\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x - y > 0\,\\\dfrac{{2000}}{{x - y}} > 0\end{array} \right.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\left( {x - y} \right)\) và \(\dfrac{{2000}}{{x - y}}\) ta được:

\(\begin{array}{l}F = \left( {x - y} \right) + \dfrac{{2000}}{{x - y}} \ge 2.\sqrt {\left( {x - y} \right).\dfrac{{2000}}{{x - y}}} \\ \Leftrightarrow F = \left( {x - y} \right) + \dfrac{{2000}}{{x - y}} \ge 40\sqrt 5 \end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = \dfrac{{2000}}{{x - y}}\\xy = 1000\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - y} \right)^2} = 2000\\xy = 1000\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 20\sqrt[{}]{5}\\xy = 1000\end{array} \right.\)

\(\min F = 40\sqrt 5 \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 20\sqrt[{}]{5}\\xy = 1000\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 20\sqrt[{}]{5}\\ab = 1000\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2} + 2ab = {\left( {20\sqrt 5 } \right)^2} + 2000 = 4000\)
Với \({a^2} + {b^2} = 4000\)\( \Rightarrow P = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{1000}} = \dfrac{{4000}}{{1000}} = 4\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.