Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) thuộc \(\left[ { - 1;\,\,1} \right]\) và không đồng thời bằng không. Khẳng định

Câu hỏi số 464347:

Vận dụng cao

Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) thuộc \(\left[ { - 1;\,\,1} \right]\) và không đồng thời bằng không. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\dfrac{{{a^4}{b^2} + {b^4}{c^2} + {c^4}{a^2} + 3}}{{{a^{2020}} + {b^{2020}} + {c^{2020}}}} \ge 1\)

B. \(\dfrac{{{a^4}{b^2} + {b^4}{c^2} + {c^4}{a^2} + 3}}{{{a^{2020}} + {b^{2020}} + {c^{2020}}}} \ge \dfrac{1}{2}\)

C. \(\dfrac{{{a^4}{b^2} + {b^4}{c^2} + {c^4}{a^2} + 3}}{{{a^{2020}} + {b^{2020}} + {c^{2020}}}} \ge 2\)

D. \(\dfrac{{{a^4}{b^2} + {b^4}{c^2} + {c^4}{a^2} + 3}}{{{a^{2020}} + {b^{2020}} + {c^{2020}}}} \ge \dfrac{3}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:464347

Phương pháp giải

Vì \(a,\,\,b,\,\,c \in \left[ { - 1;\,\,1} \right]\) nên \(0 \le {a^2},\,\,{b^2},\,\,{c^2} \le 1\).

Từ bất đẳng thức \(\left( {1 - {b^2}} \right)\left( {1 + {b^2} - {a^4}} \right) \ge 0\) chứng minh được \({a^4} + {b^4} - {a^4}{b^2} \le 1\). Từ đó suy ra, \({a^{2020}} + {b^{2020}} \le 1 + {a^4}{b^2}\).

Chứng minh tương tự đối với \({b^{2020}} + {c^{2020}} \le 1 + {b^4}{c^2},\,\,{c^{2020}} + {a^{2020}} \le 1 + {c^4}{a^2}\).

Giải chi tiết

Vì \(a,\,\,b,\,\,c \in \left[ { - 1;\,\,1} \right]\) nên \(0 \le {a^2},\,\,{b^2},\,\,{c^2} \le 1\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + {b^2} - {a^4} - {b^2} - {b^4} + {a^4}{b^2} \ge 0\\1 + {c^2} - {b^4} - {c^2} - {c^4} + {c^2}{b^4} \ge 0\\1 + {a^2} - {c^4} - {a^2} - {a^4} + {a^2}{c^4} \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^4} + {b^4} - {a^4}{b^2} \le 1\\{b^4} + {c^4} - {b^4}{c^2} \le 1\\{c^4} + {a^4} - {c^4}{a^2} \le 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {1 - {b^2}} \right)\left( {1 + {b^2} - {a^4}} \right) \ge 0\\\left( {1 - {c^2}} \right)\left( {1 + {c^2} - {b^4}} \right) \ge 0\\\left( {1 - {a^2}} \right)\left( {1 + {a^2} - {c^4}} \right) \ge 0\end{array} \right.\)
Mà ta lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}{a^4} \ge {a^{2020}}\\{b^4} \ge {b^{2020}}\\{c^4} \ge {c^{2020}}\end{array} \right.\) đúng với mọi \(a,\,\,b,\,\,c \in \left[ { - 1;\,\,1} \right]\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^{2020}} + {b^{2020}} - {a^4}{b^2} \le {a^4} + {b^4} - {a^4}{b^2} \le 1\\{b^{2020}} + {c^{2020}} - {b^4}{c^2} \le {b^4} + {c^4} - {b^4}{c^2} \le 1\\{c^{2020}} + {a^{2020}} - {c^4}{a^2} \le {c^4} + {a^4} - {c^4}{a^2} \le 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^{2020}} + {b^{2020}} \le 1 + {a^4}{b^2}\\{b^{2020}} + {c^{2020}} \le 1 + {b^4}{c^2}\\{c^{2020}} + {a^{2020}} \le 1 + {c^4}{a^2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^{2020}} + {b^{2020}} + {c^{2020}} \le 1 + {a^4}{b^2} + {c^{2020}}\\{a^{2020}} + {b^{2020}} + {c^{2020}} \le 1 + {b^4}{c^2} + {a^{2020}}\\{c^{2020}} + {a^{2020}} + {b^{2020}} \le 1 + {c^4}{a^2} + {b^{2020}}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow 3\left( {{a^{2020}} + {b^{2020}} + {c^{2020}}} \right) \le 3 + \left( {{a^4}{b^2} + {b^4}{c^2} + {c^4}{a^2}} \right) + \left( {{a^{2020}} + {b^{2020}} + {c^{2020}}} \right)\)

\( \Rightarrow 2\left( {{a^{2020}} + {b^{2020}} + {c^{2020}}} \right) \le 3 + \left( {{a^4}{b^2} + {b^4}{c^2} + {c^4}{a^2}} \right)\)

\( \Rightarrow {a^{2020}} + {b^{2020}} + {c^{2020}} \le \dfrac{{3 + {a^4}{b^2} + {b^4}{c^2} + {c^4}{a^2}}}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^{2020}} + {b^{2020}} + {c^{2020}} \le \dfrac{{3 + {a^4}{b^2} + {b^4}{c^2} + {c^4}{a^2}}}{2}\\ \Rightarrow 2 \le \dfrac{{3 + {a^4}{b^2} + {b^4}{c^2} + {c^4}{a^2}}}{{{a^{2020}} + {b^{2020}} + {c^{2020}}}}\end{array}\)

\( \Rightarrow 2 \le \dfrac{{3 + {a^4}{b^2} + {b^4}{c^2} + {c^4}{a^2}}}{{{a^{2020}} + {b^{2020}} + {c^{2020}}}}\)

Vậy \(\dfrac{{3 + {a^4}{b^2} + {b^4}{c^2} + {c^4}{a^2}}}{{{a^{2020}} + {b^{2020}} + {c^{2020}}}} \ge 2\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) thuộc \(\left[ { - 1;\,\,1} \right]\).

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.