Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) thuộc \(\left[ { - 1;\,\,1} \right]\) và không đồng thời bằng không. Khẳng định

Câu hỏi số 464347:

Vận dụng cao

Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) thuộc \(\left[ { - 1;\,\,1} \right]\) và không đồng thời bằng không. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\dfrac{{{a^4}{b^2} + {b^4}{c^2} + {c^4}{a^2} + 3}}{{{a^{2020}} + {b^{2020}} + {c^{2020}}}} \ge 1\)

B. \(\dfrac{{{a^4}{b^2} + {b^4}{c^2} + {c^4}{a^2} + 3}}{{{a^{2020}} + {b^{2020}} + {c^{2020}}}} \ge \dfrac{1}{2}\)

C. \(\dfrac{{{a^4}{b^2} + {b^4}{c^2} + {c^4}{a^2} + 3}}{{{a^{2020}} + {b^{2020}} + {c^{2020}}}} \ge 2\)

D. \(\dfrac{{{a^4}{b^2} + {b^4}{c^2} + {c^4}{a^2} + 3}}{{{a^{2020}} + {b^{2020}} + {c^{2020}}}} \ge \dfrac{3}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:464347

Phương pháp giải

Vì \(a,\,\,b,\,\,c \in \left[ { - 1;\,\,1} \right]\) nên \(0 \le {a^2},\,\,{b^2},\,\,{c^2} \le 1\).

Từ bất đẳng thức \(\left( {1 - {b^2}} \right)\left( {1 + {b^2} - {a^4}} \right) \ge 0\) chứng minh được \({a^4} + {b^4} - {a^4}{b^2} \le 1\). Từ đó suy ra, \({a^{2020}} + {b^{2020}} \le 1 + {a^4}{b^2}\).

Chứng minh tương tự đối với \({b^{2020}} + {c^{2020}} \le 1 + {b^4}{c^2},\,\,{c^{2020}} + {a^{2020}} \le 1 + {c^4}{a^2}\).

Giải chi tiết

Vì \(a,\,\,b,\,\,c \in \left[ { - 1;\,\,1} \right]\) nên \(0 \le {a^2},\,\,{b^2},\,\,{c^2} \le 1\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + {b^2} - {a^4} - {b^2} - {b^4} + {a^4}{b^2} \ge 0\\1 + {c^2} - {b^4} - {c^2} - {c^4} + {c^2}{b^4} \ge 0\\1 + {a^2} - {c^4} - {a^2} - {a^4} + {a^2}{c^4} \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^4} + {b^4} - {a^4}{b^2} \le 1\\{b^4} + {c^4} - {b^4}{c^2} \le 1\\{c^4} + {a^4} - {c^4}{a^2} \le 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {1 - {b^2}} \right)\left( {1 + {b^2} - {a^4}} \right) \ge 0\\\left( {1 - {c^2}} \right)\left( {1 + {c^2} - {b^4}} \right) \ge 0\\\left( {1 - {a^2}} \right)\left( {1 + {a^2} - {c^4}} \right) \ge 0\end{array} \right.\)
Mà ta lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}{a^4} \ge {a^{2020}}\\{b^4} \ge {b^{2020}}\\{c^4} \ge {c^{2020}}\end{array} \right.\) đúng với mọi \(a,\,\,b,\,\,c \in \left[ { - 1;\,\,1} \right]\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^{2020}} + {b^{2020}} - {a^4}{b^2} \le {a^4} + {b^4} - {a^4}{b^2} \le 1\\{b^{2020}} + {c^{2020}} - {b^4}{c^2} \le {b^4} + {c^4} - {b^4}{c^2} \le 1\\{c^{2020}} + {a^{2020}} - {c^4}{a^2} \le {c^4} + {a^4} - {c^4}{a^2} \le 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^{2020}} + {b^{2020}} \le 1 + {a^4}{b^2}\\{b^{2020}} + {c^{2020}} \le 1 + {b^4}{c^2}\\{c^{2020}} + {a^{2020}} \le 1 + {c^4}{a^2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^{2020}} + {b^{2020}} + {c^{2020}} \le 1 + {a^4}{b^2} + {c^{2020}}\\{a^{2020}} + {b^{2020}} + {c^{2020}} \le 1 + {b^4}{c^2} + {a^{2020}}\\{c^{2020}} + {a^{2020}} + {b^{2020}} \le 1 + {c^4}{a^2} + {b^{2020}}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow 3\left( {{a^{2020}} + {b^{2020}} + {c^{2020}}} \right) \le 3 + \left( {{a^4}{b^2} + {b^4}{c^2} + {c^4}{a^2}} \right) + \left( {{a^{2020}} + {b^{2020}} + {c^{2020}}} \right)\)

\( \Rightarrow 2\left( {{a^{2020}} + {b^{2020}} + {c^{2020}}} \right) \le 3 + \left( {{a^4}{b^2} + {b^4}{c^2} + {c^4}{a^2}} \right)\)

\( \Rightarrow {a^{2020}} + {b^{2020}} + {c^{2020}} \le \dfrac{{3 + {a^4}{b^2} + {b^4}{c^2} + {c^4}{a^2}}}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^{2020}} + {b^{2020}} + {c^{2020}} \le \dfrac{{3 + {a^4}{b^2} + {b^4}{c^2} + {c^4}{a^2}}}{2}\\ \Rightarrow 2 \le \dfrac{{3 + {a^4}{b^2} + {b^4}{c^2} + {c^4}{a^2}}}{{{a^{2020}} + {b^{2020}} + {c^{2020}}}}\end{array}\)

\( \Rightarrow 2 \le \dfrac{{3 + {a^4}{b^2} + {b^4}{c^2} + {c^4}{a^2}}}{{{a^{2020}} + {b^{2020}} + {c^{2020}}}}\)

Vậy \(\dfrac{{3 + {a^4}{b^2} + {b^4}{c^2} + {c^4}{a^2}}}{{{a^{2020}} + {b^{2020}} + {c^{2020}}}} \ge 2\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) thuộc \(\left[ { - 1;\,\,1} \right]\).

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10