Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{x\ln x}}\) thỏa

Câu hỏi số 466827:

Vận dụng

Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{x\ln x}}\) thỏa mãn \(F\left( {\dfrac{1}{e}} \right) = 2\) và \(F\left( e \right) = \ln 2\). Giá trị của biểu thức \(F\left( {\dfrac{1}{{{e^2}}}} \right) + F\left( {{e^2}} \right)\) bằng:

A. \(3\ln 2 + 2\)

B. \(\ln 2 + 2\)

C. \(\ln 2 + 1\)

D. \(2\ln 2 + 1\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:466827

Phương pháp giải

- Sử dụng phương pháp đưa biến vào vi phân và sử dụng công thức \(\int {\dfrac{1}{u}du} = \ln \left| u \right| + C\).

- Phá trị tuyệt đối, sử dụng các giả thiết \(F\left( {\dfrac{1}{e}} \right) = 2\) và \(F\left( e \right) = \ln 2\) tính hằng số \(C\) trong từng trường hợp.

- Tính \(F\left( {\dfrac{1}{{{e^2}}}} \right),\,\,F\left( {{e^2}} \right)\) ứng với mỗi trường hợp ở trên.

Giải chi tiết

Ta có \(F\left( x \right) = \int {\dfrac{1}{{x\ln x}}dx} = \int {\dfrac{1}{{\ln x}}d\left( {\ln x} \right)} = \ln \left| {\ln x} \right| + C\)

\( \Rightarrow F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\ln \left( { - \ln x} \right) + {C_1}\,\,khi\,\,x \in \left( {0;1} \right)\\\ln \left( {\ln x} \right) + {C_2}\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \in \left( {1; + \infty } \right)\end{array} \right.\)

Theo bài ra ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}F\left( {\dfrac{1}{e}} \right) = \ln 1 + {C_1} = 2 \Leftrightarrow {C_1} = 2\\F\left( e \right) = \ln 1 + {C_2} = \ln 2 \Leftrightarrow {C_2} = \ln 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\ln \left( { - \ln x} \right) + 2\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \in \left( {0;1} \right)\\\ln \left( {\ln x} \right) + \ln 2\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \in \left( {1; + \infty } \right)\end{array} \right.\)

Vậy \(F\left( {\dfrac{1}{{{e^2}}}} \right) + F\left( {{e^2}} \right) = \ln 2 + 2 + \ln 2 + \ln 2 = 3\ln 2 + 2\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.