Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{x\ln x}}\) thỏa mãn \(F\left( {\dfrac{1}{e}} \right) = 2\) và \(F\left( e \right) = \ln 2\). Giá trị của biểu thức \(F\left( {\dfrac{1}{{{e^2}}}} \right) + F\left( {{e^2}} \right)\) bằng:

Câu 466827: Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{x\ln x}}\) thỏa mãn \(F\left( {\dfrac{1}{e}} \right) = 2\) và \(F\left( e \right) = \ln 2\). Giá trị của biểu thức \(F\left( {\dfrac{1}{{{e^2}}}} \right) + F\left( {{e^2}} \right)\) bằng:

A. \(3\ln 2 + 2\)

B. \(\ln 2 + 2\)

C. \(\ln 2 + 1\)

D. \(2\ln 2 + 1\)

Câu hỏi : 466827

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Sử dụng phương pháp đưa biến vào vi phân và sử dụng công thức \(\int {\dfrac{1}{u}du} = \ln \left| u \right| + C\).

- Phá trị tuyệt đối, sử dụng các giả thiết \(F\left( {\dfrac{1}{e}} \right) = 2\) và \(F\left( e \right) = \ln 2\) tính hằng số \(C\) trong từng trường hợp.

- Tính \(F\left( {\dfrac{1}{{{e^2}}}} \right),\,\,F\left( {{e^2}} \right)\) ứng với mỗi trường hợp ở trên.

Đáp án : A
(11) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có \(F\left( x \right) = \int {\dfrac{1}{{x\ln x}}dx} = \int {\dfrac{1}{{\ln x}}d\left( {\ln x} \right)} = \ln \left| {\ln x} \right| + C\)

\( \Rightarrow F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\ln \left( { - \ln x} \right) + {C_1}\,\,khi\,\,x \in \left( {0;1} \right)\\\ln \left( {\ln x} \right) + {C_2}\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \in \left( {1; + \infty } \right)\end{array} \right.\)

Theo bài ra ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}F\left( {\dfrac{1}{e}} \right) = \ln 1 + {C_1} = 2 \Leftrightarrow {C_1} = 2\\F\left( e \right) = \ln 1 + {C_2} = \ln 2 \Leftrightarrow {C_2} = \ln 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\ln \left( { - \ln x} \right) + 2\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \in \left( {0;1} \right)\\\ln \left( {\ln x} \right) + \ln 2\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \in \left( {1; + \infty } \right)\end{array} \right.\)

Vậy \(F\left( {\dfrac{1}{{{e^2}}}} \right) + F\left( {{e^2}} \right) = \ln 2 + 2 + \ln 2 + \ln 2 = 3\ln 2 + 2\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.