Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{2x + 1}}{{{x^4} + 2{x^3}

Câu hỏi số 466826:

Vận dụng

Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{2x + 1}}{{{x^4} + 2{x^3} + {x^2}}}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) thỏa mãn \(F\left( 1 \right) = \dfrac{1}{2}\). Giá trị của biểu thức \(S = F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) + F\left( 3 \right) + ... + F\left( {2021} \right)\) bằng:

A. \(\dfrac{{2021}}{{2022}}\)

B. \(\dfrac{{2021.2023}}{{2022}}\)

C. \(2020\dfrac{1}{{2022}}\)

D. \( - \dfrac{{2021}}{{2022}}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:466826

Phương pháp giải

- Sử dụng phương pháp đưa biến vào vi phân. Sử dụng công thức \(\int {\dfrac{{du}}{{{u^2}}}} = - \dfrac{1}{u} + C\).

- Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b\) và chọn mệnh đề đúng.

Giải chi tiết

Vì \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{2x + 1}}{{{x^4} + 2{x^3} + {x^2}}}\) nên ta có:

\(F\left( x \right) = \int {\dfrac{{2x + 1}}{{{x^4} + 2{x^3} + {x^2}}}dx} = \int {\dfrac{{2x + 1}}{{{{\left( {{x^2} + x} \right)}^2}}}.\dfrac{{d\left( {{x^2} + x} \right)}}{{2x + 1}}} \)

\( = \int {\dfrac{1}{{{{\left( {{x^2} + x} \right)}^2}}}d\left( {{x^2} + x} \right)} = - \dfrac{1}{{{x^2} + x}} + C\)

Theo bài ra ta có: \(F\left( 1 \right) = \dfrac{1}{2} \Rightarrow - \dfrac{1}{2} + C = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow C = 1\)

\( \Rightarrow F\left( x \right) = 1 - \dfrac{1}{{{x^2} + x}}\).

Ta có: \(\dfrac{1}{{{x^2} + x}} = \dfrac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}}\)

\( \Rightarrow F\left( x \right) = 1 + \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{x}\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}F\left( 1 \right) = 1 + \left( {\dfrac{1}{2} - 1} \right)\\F\left( 2 \right) = 1 + \left( {\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2}} \right)\\F\left( 3 \right) = 1 + \left( {\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{3}} \right)\\...\\F\left( {2020} \right) = 1 + \left( {\dfrac{1}{{2021}} - \dfrac{1}{{2020}}} \right)\\F\left( {2021} \right) = 1 + \left( {\dfrac{1}{{2022}} - \dfrac{1}{{2021}}} \right)\\ \Rightarrow S = F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) + F\left( 3 \right) + ... + F\left( {2021} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2021 + \left( {\dfrac{1}{{2022}} - 1} \right) = 2020 + \dfrac{1}{{2022}} = 2020\dfrac{1}{{2022}}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.