Cho hai hàm số: \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {3{m^2} + + 4m

Câu hỏi số 469441:

Vận dụng cao

Cho hai hàm số: \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {3{m^2} + + 4m + 5} \right)x + 2021\) và \(g\left( x \right) = \left( {{m^2} + 2m + 5} \right){x^3} - \left( {2{m^2} + 4m + 9} \right){x^2} - 3x + 2\) với \(m\) là tham số. Hỏi phương trình \(g\left( {f\left( x \right)} \right) = 0\) có bao nhiêu nghiệm?

A. 9

B. 0

C. 1

D. 3

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:469441

Phương pháp giải

Xét phương trình \(g\left( x \right) = 0\).

Chỉ ra hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên R.

Suy ra số nghiệm phương trình \(g\left( {f\left( x \right)} \right) = 0\)

Giải chi tiết

Xét phương trình \(g\left( x \right) = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 2m + 5} \right){x^3} - \left( {2{m^2} + 4m + 9} \right){x^2} - 3x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 2m + 5} \right){x^3} - \left( {2{m^2} + 4m + 10} \right){x^2} + {x^2} - 3x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 2m + 5} \right){x^2}\left( {x - 2} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left[ {\left( {{m^2} + 2m + 5} \right){x^2} + x - 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\\left( {{m^2} + 2m + 5} \right){x^2} + x - 1 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Xét (*) vì \(\left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 2m + 5 = {\left( {m + 1} \right)^2} + 4 > 0\\ac = - \left( {{m^2} + 2m + 5} \right) < 0\\\left( {{m^2} + 2m + 5} \right){.2^2} + 2 - 1 = 4{m^2} + 8m + 21 > 0\end{array} \right.\) nên phương trình (*) có 2 nghiệm trái dấu khác 2.

Hay \(g\left( x \right) = 0\) có 3 nghiệm phân biệt \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\x = m\\x = n\end{array} \right.\,\,\left( {mn < 0} \right)\). Do đó \(g\left( {f\left( x \right)} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 2\,\,\,\left( 1 \right)\\f\left( x \right) = m\,\,\left( 2 \right)\\f\left( x \right) = n\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\,\,\left( {mn < 0} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {3{m^2} + 4m + 5} \right)x + 2021\) ta có: \(f'\left( x \right) = {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3{m^2} + 4m + 5\).

Ta có \(\Delta {'_{f'\left( x \right)}} = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {3{m^2} + 4m + 5} \right) = - 2{m^2} - 2m - 4 < 0\,\,\forall m\) nên \(f'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Suy ra hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Do đó mỗi phương trình (1), (2), (3) có nghiệm duy nhất và các nghiệm này là khác nhau.

Vậy phương trình \(g\left( {f\left( x \right)} \right) = 0\) có 3 nghiệm phân biệt.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.