Trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) cho đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(O\), đường kính \(AB =

Câu hỏi số 469442:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) cho đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(O\), đường kính \(AB = 4\). Gọi \(H\) là điểm đối xứng của \(O\) qua \(A\). Lấy điểm \(S\) sao cho \(SH \bot \left( P \right)\) và \(SH = 4\). Tính diện tích mặt cầu đi qua đường tròn \(\left( C \right)\) và điểm \(S\).

A. \(\pi \sqrt {65} \)

B. \(\dfrac{{343\pi }}{6}\)

C. \(65\pi \)

D. \(\dfrac{{\sqrt {65} }}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:469442

Giải chi tiết

Mặt cầu \(\left( S \right)\) chứa đường tròn \(\left( C \right)\) nên tâm \(I\) của \(\left( S \right)\) nằm trên đường thẳng đi qua \(O\) và vuông góc với \(\left( P \right)\). Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OI \bot \left( P \right)\\SH \bot \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow SH//OI\).

Mà \(IS = IA\) nên \(I\) nằm trên trung trực đoan \(SA\).

\( \Rightarrow I\) cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta SAB\).

Kẻ \(IT \bot SH\) tại \(T\). Đặt \(OI = x\).

Áp dụng định lí Pytago ta có: \(A{I^2} = A{O^2} + O{I^2} = {x^2} + 4\).

Trong hình thang vuông \(IOHS\) và tam giác vuông \(SIT\) có:

\(I{S^2} = I{T^2} + S{T^2} = O{H^2} + S{T^2} = {4^2} + {\left( {4 - x} \right)^2} = {x^2} - 8x + 32\)

Vì \(IA = IS \Rightarrow {x^2} + 4 = {x^2} - 8x + 32\) \( \Rightarrow x = \dfrac{7}{2} = OI\).

\( \Rightarrow AI = \sqrt {{x^2} + 4} = \dfrac{{\sqrt {65} }}{2} = R\).

Vậy diện tích mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(S = 4\pi {R^2} = \dfrac{{65{R^2}}}{4} = 65\pi \).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.