Tập nghiệm của bất phương trình \(\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} - \sqrt {x + 1} }}{{{x^2} + \sqrt 3 x -

Câu hỏi số 469690:

Vận dụng cao

Tập nghiệm của bất phương trình \(\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} - \sqrt {x + 1} }}{{{x^2} + \sqrt 3 x - 6}} \le 0\) là

A. \(S = \left[ { - 2\sqrt 3 ;\,\,0} \right] \cup \left[ {1;\,\,\sqrt 3 } \right)\)

B. \(S = \left( { - 1;\,\,0} \right] \cup \left[ {1;\,\,\sqrt 3 } \right)\)

C. \(S = \left( { - 2\sqrt 3 ;\,\,0} \right] \cup \left[ {1;\,\,\sqrt 3 } \right)\)

D. \(S = \left[ { - 1;\,\,0} \right] \cup \left[ {1;\,\,\sqrt 3 } \right)\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:469690

Phương pháp giải

+ Tìm TXĐ.

+ Chứng minh \(\sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt {x + 1} > 0\) với mọi \(x \in D\).

+ Áp dụng tính chất của bất đẳng thức \(\left\{ \begin{array}{l}a < b\\c > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow ac < bc\) (nhân cả hai vế với \(\sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt {x + 1} \)).

Lập bảng xét dấu để giải BPT.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\{x^2} + \sqrt 3 x - 6 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\x \ne \sqrt 3 \\x \ne - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\x \ne \sqrt 3 \end{array} \right.\)\( \Rightarrow D = \left[ { - 1;\,\, + \infty } \right)\backslash \left\{ {\sqrt 3 } \right\}\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 1} > 0\\\sqrt {x + 1} \ge 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt {x + 1} > 0\) với mọi \(x \in D\).

Ta có : \(\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} - \sqrt {x + 1} }}{{{x^2} + \sqrt 3 x - 6}} \le 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - \sqrt {x + 1} } \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt {x + 1} } \right)}}{{{x^2} + \sqrt 3 x - 6}} \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + 1 - x - 1}}{{{x^2} + \sqrt 3 x - 6}} \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - x}}{{{x^2} + \sqrt 3 x - 6}} \le 0\end{array}\)

Ta có bảng xét dấu:

\( \Rightarrow x \in \left( { - 2\sqrt 3 ;\,\,0} \right] \cup \left[ {1;\,\,\sqrt 3 } \right)\)

Kết hợp với ĐKXĐ, tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left[ { - 1;\,\,0} \right] \cup \left[ {1;\,\,\sqrt 3 } \right)\).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.