Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\dfrac{{{x^2} + \left( {2x + \cos x} \right)\cos x + 1 - \sin x}}{{x + \cos

Câu hỏi số 469842:

Vận dụng

Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\dfrac{{{x^2} + \left( {2x + \cos x} \right)\cos x + 1 - \sin x}}{{x + \cos x}}dx} = a{\pi ^2} + b + \ln \dfrac{c}{\pi }\), với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số hữu tỉ. Giá trị biểu thức \(P = a{c^3} + b\) là:

A. \(3\)

B. \(\dfrac{5}{4}\)

C. \(\dfrac{3}{2}\)

D. \(2\left( {1 - \log & 2} \right)e\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:469842

Phương pháp giải

- Phân tích và rút gọn biểu thức trong tích phân.

- Đưa \(x + \cos x\) vào tích phân.

- Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b,\,\,c\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\dfrac{{{x^2} + \left( {2x + \cos x} \right)\cos x + 1 - \sin x}}{{x + \cos x}}\\ = \dfrac{{{x^2} + x\cos x + x\cos x + {{\cos }^2}x + 1 - \sin x}}{{x + \cos x}}\\ = \dfrac{{x\left( {x + \cos x} \right) + \cos x\left( {x + \cos x} \right) + 1 - \sin x}}{{x + \cos x}}\\ = x + \cos x + \dfrac{{1 - \sin x}}{{x + \cos x}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\dfrac{{{x^2} + \left( {2x + \cos x} \right)\cos x + 1 - \sin x}}{{x + \cos x}}dx} \\ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {x + \cos x + \dfrac{{1 - \sin x}}{{x + \cos x}}} \right)dx} \\ = \left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + \sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{1 - \sin x}}{{x + \cos x}}dx} \\ = \dfrac{{{\pi ^2}}}{8} + 1 - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\dfrac{{1 - \sin x}}{{x + \cos x}}\dfrac{{d\left( {x + \cos x} \right)}}{{1 - \sin x}}} \\ = \dfrac{{{\pi ^2}}}{8} + 1 - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\dfrac{{d\left( {x + \cos x} \right)}}{{x + \cos x}}} \\ = \dfrac{{{\pi ^2}}}{8} + 1 - \left. {\ln \left| {x + \cos x} \right|} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\\ = \dfrac{{{\pi ^2}}}{8} + 1 - \ln \dfrac{\pi }{2}\\ = \dfrac{{{\pi ^2}}}{8} + 1 + \ln \dfrac{2}{\pi }\end{array}\)

\( \Rightarrow a = \dfrac{1}{8},\,\,b = 1,\,\,c = 2\) \( \Rightarrow P = a{c^3} + b = \dfrac{1}{8}{.2^3} + 1 = 2\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.