Biết rằng \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm trên \(\mathbb{R}\) của hàm số \(f\left( x \right) =

Câu hỏi số 469843:

Vận dụng

Biết rằng \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm trên \(\mathbb{R}\) của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{2017x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^{2018}}}}\) thỏa mãn \(F\left( 1 \right) = 0\). Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) của \(F\left( x \right)\).

A. \(m = - \dfrac{1}{2}\)

B. \(m = \dfrac{{1 - {2^{2017}}}}{{{2^{2018}}}}\)

C. \(m = \dfrac{{1 + {2^{2017}}}}{{{2^{2018}}}}\)

D. \(m = \dfrac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:469843

Phương pháp giải

- Đưa \({x^2} + 1\) vào vi phân.

- Sử dụng giả thiết \(F\left( 1 \right) = 0\) tìm hằng số \(C\) và suy ra hàm \(F\left( x \right)\).

- Biện luận để tìm GTNN của \(F\left( x \right)\).

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}*\,\,F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\dfrac{{2017x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^{2018}}}}dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \int {\dfrac{{2017x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^{2018}}}}\dfrac{{d\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{2x}}} = \dfrac{{2017}}{2}\int {\dfrac{{d\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^{2018}}}}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{2017}}{2}.\dfrac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^{ - 2017}}}}{{ - 2017}} + C = - \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^{2017}}}} + C\end{array}\)

* \(F\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow - \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{{2^{2017}}}} + C = 0 \Leftrightarrow C = \dfrac{1}{{{2^{2018}}}}\)

\( \Rightarrow F\left( x \right) = - \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^{2017}}}} + \dfrac{1}{{{2^{2018}}}}\)

Ta có \({x^2} + 1 \ge 1\,\,\forall x \Rightarrow {\left( {{x^2} + 1} \right)^{2017}} \ge 1\,\,\forall x\) \( \Rightarrow \dfrac{1}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^{2017}}}} \le 1\)

\( \Rightarrow - \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^{2017}}}} \ge - \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow F\left( x \right) \ge - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^{2018}}}} = \dfrac{{1 - {2^{2017}}}}{{{2^{2018}}}}\).

Vậy \(m = \dfrac{{1 - {2^{2017}}}}{{{2^{2018}}}}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.