Biết \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{\pi {x^3} + {2^x} + e{x^3}{{.2}^x}}}{{\pi + e{{.2}^x}}}dx} = \dfrac{1}{m} +

Câu hỏi số 469845:

Vận dụng cao

Biết \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{\pi {x^3} + {2^x} + e{x^3}{{.2}^x}}}{{\pi + e{{.2}^x}}}dx} = \dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{{e\ln n}}\ln \left( {p + \dfrac{e}{{e + \pi }}} \right)\) với \(m,\,\,n,\,\,p\) là các số nguyên dương. Tính tổng \(S = m + n + p\).

A. \(S = 7\)

B. \(S = 6\)

C. \(S = 8\)

D. \(S = 5\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:469845

Phương pháp giải

- Phân tích và rút gọn \(\dfrac{{\pi {x^3} + {2^x} + e{x^3}{{.2}^x}}}{{\pi + e{{.2}^x}}}\).

- Đưa \(\pi + e{.2^x}\) vào vi phân.

- Đồng nhất hệ số tìm \(m,\,\,n,\,\,p\).

Giải chi tiết

* Ta có: \(\dfrac{{\pi {x^3} + {2^x} + e{x^3}{{.2}^x}}}{{\pi + e{{.2}^x}}} = \dfrac{{{x^3}\left( {\pi + e{{.2}^x}} \right) + {2^x}}}{{\pi + e{{.2}^x}}} = {x^3} + \dfrac{{{2^x}}}{{\pi + e{{.2}^x}}}\)

\(\begin{array}{l}*\,\,\int\limits_0^1 {\dfrac{{\pi {x^3} + {2^x} + e{x^3}{{.2}^x}}}{{\pi + e{{.2}^x}}}dx} \\ = \int\limits_0^1 {\left( {{x^3} + \dfrac{{{2^x}}}{{\pi + e{{.2}^x}}}} \right)dx} \\ = \left. {\dfrac{{{x^4}}}{4}} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {\dfrac{{{2^x}}}{{\pi + e{{.2}^x}}}dx} \\ = \dfrac{1}{4} + \int\limits_0^1 {\dfrac{{{2^x}}}{{\pi + e{{.2}^x}}}\dfrac{{d\left( {\pi + e{{.2}^x}} \right)}}{{e{{.2}^x}\ln 2}}} \\ = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{e\ln 2}}\int\limits_0^1 {\dfrac{{d\left( {\pi + e{{.2}^x}} \right)}}{{\pi + e{{.2}^x}}}} \\ = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{e\ln 2}}\left. {\ln \left( {\pi + e{{.2}^x}} \right)} \right|_0^1\\ = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{e\ln 2}}\left[ {\ln \left( {\pi + 2e} \right) - \ln \left( {\pi + e} \right)} \right]\\ = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{e\ln 2}}\ln \dfrac{{\pi + 2e}}{{\pi + e}}\\ = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{e\ln 2}}\ln \left( {1 + \dfrac{e}{{e + \pi }}} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow m = 4,\,\,n = 2,\,\,p = 1 \Rightarrow S = m + n + p = 7\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.