Cho hàm số \(f\left( x \right)\) luên tục trên \(\left[ {0;\pi } \right]\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2}}

Câu hỏi số 469844:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) luên tục trên \(\left[ {0;\pi } \right]\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2}} \right\}\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = \tan x,\,\,\forall x \in \left( { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{{5\pi }}{4}} \right)\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2}} \right\}\), \(f\left( 0 \right) = 0\), \(f\left( \pi \right) = 1\). Tỉ số giữa \(f\left( {\dfrac{{2\pi }}{3}} \right)\) và \(f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right)\) bằng:

A. \(2\left( {{{\log }_2}e + 1} \right)\)

B. \(2\)

C. \(\dfrac{{2\left( {1 + \ln 2} \right)}}{{2 + \ln 2}}\)

D. \(2\left( {1 - \log & 2} \right)e\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:469844

Phương pháp giải

- Tìm \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} \), sử dụng công thức \(\tan x = \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}},\) đưa \(\cos x\) vào vi phân.

- Phá trị tuyệt đối trên từng khoảng hợp lý của \(x\).

- Sử dụng dữ kiện \(f\left( 0 \right) = 0,\,\,f\left( \pi \right) = 1\) tìm hằng số \(C\) trong từng trường hợp.

- Tính \(f\left( {\dfrac{{2\pi }}{3}} \right);\,\,f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right)\) ứng với các hàm tương ứng.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}*\,\,f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\tan xdx} = \int {\dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \int {\dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}\dfrac{{d\left( {\cos x} \right)}}{{ - \sin x}}} = - \ln \left| {\cos x} \right| + C\end{array}\)

* Vì \(x \in \left( { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{{5\pi }}{4}} \right)\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2}} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x \ge 0\,\,khi\,\,x \in \left( { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right)\\\cos x < 0\,\,khi\,\,x \in \left( {\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{5\pi }}{4}} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - \ln \cos x + {C_1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \in \left( { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right)\\ - \ln \left( { - \cos x} \right) + {C_2}\,\,khi\,\,x \in \left( {\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{5\pi }}{4}} \right)\end{array} \right.\)

* \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 0\\f\left( \pi \right) = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \ln 1 + {C_1} = 0 \Leftrightarrow {C_1} = 0\\ - \ln 1 + {C_2} = 1 \Leftrightarrow {C_2} = 1\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,\,\, - \ln \cos x\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \in \left( { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right)\\ - \ln \left( { - \cos x} \right) + 1\,\,khi\,\,x \in \left( {\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{5\pi }}{4}} \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( {\dfrac{{2\pi }}{3}} \right) = - \ln \left( { - \cos \dfrac{{2\pi }}{3}} \right) + 1 = - \ln \dfrac{1}{2} + 1 = \ln 2 + 1\\\,\,\,\,\,\,f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = - \ln \left( {\cos \dfrac{\pi }{4}} \right) = - \ln \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = - \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\ln 2\\ \Rightarrow \dfrac{{f\left( {\dfrac{{2\pi }}{3}} \right)}}{{f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right)}} = \dfrac{{\ln 2 + 1}}{{\dfrac{1}{2}\ln 2}} = 2 + \dfrac{2}{{\ln 2}} = 2 + 2\dfrac{{\ln e}}{{\ln 2}} = 2 + 2{\log _2}e\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.