Có bao nhiêu số nguyên \(a\) để phương trình \({6^x} - {2^x} - {3^x} = \dfrac{a}{5}\) có hai nghiệm

Câu hỏi số 472015:

Vận dụng

Có bao nhiêu số nguyên \(a\) để phương trình \({6^x} - {2^x} - {3^x} = \dfrac{a}{5}\) có hai nghiệm thực phân biệt.

A. \(4\)

B. \(5\)

C. \(1\)

D. Vô số

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:472015

Phương pháp giải

- Đặt \(f\left( x \right) = {6^x} - {2^x} - {3^x}\). Tính \(f'\left( x \right)\).

- Chứng minh \(f'\left( x \right) > 0\,\,\forall x > 0,\,\,f'\left( x \right) < 0\,\,\forall x < 0\) và suy ra phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có nghiệm duy nhất \(x = 0\).

- Lập BBT hàm số \(f\left( x \right)\).

- Số nghiệm của phương trình \({6^x} - {2^x} - {3^x} = \dfrac{a}{5}\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = {6^x} - {2^x} - {3^x}\) và đường thẳng \(y = \dfrac{a}{5}\).

Giải chi tiết

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {6^x} - {2^x} - {3^x}\) ta có \(f'\left( x \right) = {6^x}\ln 6 - {2^x}\ln 2 - {3^x}\ln 3\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,f'\left( x \right) = {6^x}\ln 6 - {2^x}\ln 2 - {3^x}\ln 3\\ \Leftrightarrow f'\left( x \right) = {6^x}\left( {\ln 2 + \ln 3} \right) - {2^x}\ln 2 - {3^x}\ln 3\\ \Leftrightarrow f'\left( x \right) = \left( {{6^x} - {2^x}} \right)\ln 2 + \left( {{6^x} - {3^x}} \right)\ln 3\end{array}\)

Với \(x > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{6^x} > {2^x}\\{6^x} > {3^x}\\\ln 2 > 0,\,\,\ln 3 > 0\end{array} \right. \Rightarrow f'\left( x \right) > 0\)

Với \(x < 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{6^x} < {2^x}\\{6^x} < {3^x}\\\ln 2 > 0,\,\,\ln 3 > 0\end{array} \right. \Rightarrow f'\left( x \right) < 0\).

Với \(x = 0 \Rightarrow f'\left( x \right) = 0\).

Do đó phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có nghiệm duy nhất \(x = 0\).

Ta có BBT:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình \({6^x} - {2^x} - {3^x} = \dfrac{a}{5}\) có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow - 1 < \dfrac{a}{5} < 0 \Leftrightarrow - 5 < a < 0\).

Mà \(a \in \mathbb{Z} \Rightarrow a \in \left\{ { - 4; - 3; - 2; - 1} \right\}\). Vậy có 4 giá trị của \(a\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.