Có bao nhiêu số nguyên \(a\) để phương trình \({z^2} - \left( {a - 3} \right)z + {a^2} + a = 0\) có hai

Câu hỏi số 472019:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số nguyên \(a\) để phương trình \({z^2} - \left( {a - 3} \right)z + {a^2} + a = 0\) có hai nghiệm phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| {{z_1} - {z_2}} \right|\).

A. \(4\)

B. \(2\)

C. \(3\)

D. \(1\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:472019

Phương pháp giải

- Tính \(\Delta \) của phương trình \({z^2} - \left( {a - 3} \right)z + {a^2} + a = 0\), giải bất phương trình \(\Delta < 0\).

- Phương trình bậc hai có 2 nghiệm phức thì hai nghiệm đó là số phức liên hợp của nhau, đặt \({z_1} = x + yi\) \( \Rightarrow {z_2} = x - yi\).

- Giải phương trình \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| {{z_1} - {z_2}} \right|\) tìm mối quan hệ giữa \(x\) và \(y\).

- Giải phương trình \({z^2} - \left( {a - 3} \right)z + {a^2} + a = 0\) theo \(a,\,\,\Delta \) tìm \({z_1},\,\,{z_2}\). Với mỗi trường hợp trên giải phương trình chứa căn tìm \(a\).

Giải chi tiết

Xét phương trình \({z^2} - \left( {a - 3} \right)z + {a^2} + a = 0\) ta có:

\(\Delta = {\left( {a - 3} \right)^2} - 4\left( {{a^2} + a} \right) = - 3{a^2} - 10a + 9\).

Để phương trình có 2 nghiệm phức thì \( - 3{a^2} - 10a + 9 < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a > \dfrac{{ - 5 + 2\sqrt {13} }}{3}\\a < \dfrac{{ - 5 - 2\sqrt {13} }}{3}\end{array} \right.\,\,\left( * \right)\).

Vì \({z_1},\,\,{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} - \left( {a - 3} \right)z + {a^2} + a = 0\) nên chúng là 2 số phức liên hợp. Do đó đặt \({z_1} = x + yi \Rightarrow {z_2} = x - yi\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| {{z_1} - {z_2}} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x + yi + x - yi} \right| = \left| {x + yi - x + yi} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {2x} \right| = \left| {2yi} \right|\\ \Leftrightarrow \left| x \right| = \left| {yi} \right|\\ \Leftrightarrow \left| x \right| = \left| y \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\x = - y\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có: \({z^2} - \left( {a - 3} \right)z + {a^2} + a = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = \dfrac{{\left( {a - 3} \right) + \sqrt {\left| \Delta \right|} i}}{2} = \dfrac{{a - 3}}{2} + \dfrac{{\sqrt {\left| \Delta \right|} }}{2}i\\{z_2} = \dfrac{{\left( {a - 3} \right) - \sqrt {\left| \Delta \right|} i}}{2} = \dfrac{{a - 3}}{2} - \dfrac{{\sqrt {\left| \Delta \right|} }}{2}i\end{array} \right.\)

TH1: \(x = y \Rightarrow a - 3 = \sqrt {\left| \Delta \right|} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ge 3\\{\left( {a - 3} \right)^2} = 3{a^2} + 10a - 9\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ge 3\\2{a^2} + 16a - 18 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\a = - 9\end{array} \right.\,\,\,\left( {ktm} \right)\).

TH1: \(x = - y \Rightarrow 3 - a = \sqrt {\left| \Delta \right|} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \le 3\\{\left( {a - 3} \right)^2} = 3{a^2} + 10a - 9\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \le 3\\2{a^2} + 16a - 18 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\a = - 9\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\). Hai giá trị này của \(a\) thỏa mãn điều kiện (*).

Vậy có 2 số nguyên \(a\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.