Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Mặt bên \(SAB\) là tam giác đều cạnh \(\sqrt 3 a\), \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\) có cạnh \(AC = a\), góc giữa \(AD\) và \(\left( {SAB} \right)\) bằng \({30^0}\). Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng:

Câu 472020: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Mặt bên \(SAB\) là tam giác đều cạnh \(\sqrt 3 a\), \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\) có cạnh \(AC = a\), góc giữa \(AD\) và \(\left( {SAB} \right)\) bằng \({30^0}\). Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng:

A. \({a^3}\)

B. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{6}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{2}\)

D. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{4}\)

Câu hỏi : 472020

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Chứng minh \(\angle \left( {AD;\left( {SAB} \right)} \right) = \angle \left( {BC;\left( {SAB} \right)} \right)\).

- Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(C\) lên \(\left( {SAB} \right)\) , xác định \(\angle \left( {BC;\left( {SAB} \right)} \right)\). Từ đó tính \(CH\).

- Tính \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}CH.{S_{\Delta SAB}}\).

- Tính \({V_{S.ABCD}} = 2{V_{S.ABC}}\).

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Vì \(BC//AD \Rightarrow \angle \left( {AD;\left( {SAB} \right)} \right) = \angle \left( {BC;\left( {SAB} \right)} \right)\).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(C\) lên \(\left( {SAB} \right)\) \( \Rightarrow BH\) là hình chiếu của \(BC\) lên \(\left( {SAB} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {BC;\left( {SAB} \right)} \right) = \angle \left( {BC;BH} \right) = \angle HBC = {30^0}\).

Xét tam giác vuông \(ABC\) có \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {3{a^2} + {a^2}} = 2a\).

Xét tam giác vuông \(BCH\) có \(CH = BC.\sin {30^0} = 2a.\dfrac{1}{2} = a\).

Vì \(\Delta SAB\) đều cạnh \(a\sqrt 3 \) nên \({S_{\Delta SAB}} = \dfrac{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{4}\).

\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}CH.{S_{\Delta SAB}} = \dfrac{1}{3}.a.\dfrac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{4} = \dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{4}\).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = 2{V_{S.ABC}} = \dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{2}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.