Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Mặt bên \(SAB\) là tam giác đều cạnh

Câu hỏi số 472020:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Mặt bên \(SAB\) là tam giác đều cạnh \(\sqrt 3 a\), \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\) có cạnh \(AC = a\), góc giữa \(AD\) và \(\left( {SAB} \right)\) bằng \({30^0}\). Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng:

A. \({a^3}\)

B. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{6}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{2}\)

D. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{4}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:472020

Phương pháp giải

- Chứng minh \(\angle \left( {AD;\left( {SAB} \right)} \right) = \angle \left( {BC;\left( {SAB} \right)} \right)\).

- Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(C\) lên \(\left( {SAB} \right)\) , xác định \(\angle \left( {BC;\left( {SAB} \right)} \right)\). Từ đó tính \(CH\).

- Tính \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}CH.{S_{\Delta SAB}}\).

- Tính \({V_{S.ABCD}} = 2{V_{S.ABC}}\).

Giải chi tiết

Vì \(BC//AD \Rightarrow \angle \left( {AD;\left( {SAB} \right)} \right) = \angle \left( {BC;\left( {SAB} \right)} \right)\).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(C\) lên \(\left( {SAB} \right)\) \( \Rightarrow BH\) là hình chiếu của \(BC\) lên \(\left( {SAB} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {BC;\left( {SAB} \right)} \right) = \angle \left( {BC;BH} \right) = \angle HBC = {30^0}\).

Xét tam giác vuông \(ABC\) có \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {3{a^2} + {a^2}} = 2a\).

Xét tam giác vuông \(BCH\) có \(CH = BC.\sin {30^0} = 2a.\dfrac{1}{2} = a\).

Vì \(\Delta SAB\) đều cạnh \(a\sqrt 3 \) nên \({S_{\Delta SAB}} = \dfrac{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{4}\).

\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}CH.{S_{\Delta SAB}} = \dfrac{1}{3}.a.\dfrac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{4} = \dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{4}\).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = 2{V_{S.ABC}} = \dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{2}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.