Cho phương trình \(\log _3^2x - 4{\log _3}x + m - 3 = 0\). Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số

Câu hỏi số 472410:

Vận dụng

Cho phương trình \(\log _3^2x - 4{\log _3}x + m - 3 = 0\). Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1} < {x_2}\) thỏa mãn \({x_2} - 81{x_1} < 0\).

A. 4

B. 5

C. 6

D. 3

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:472410

Phương pháp giải

- Tìm điều kiện xác định của phương trình.

- Đặt ẩn phụ \({\log _3}x = t\) để đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai ẩn \(t\).

- Từ điều kiện \({x_1} < {x_2}\) thỏa mãn \({x_2} - 81{x_1} < 0\) suy ra điều kiện của \(t\).

- Áp dụng định lí Vi-ét cho phương trình bậc hai.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x > 0\).

Đặt \({\log _3}x = t\), phương trình đã cho trở thành: \({t^2} - 4t + m - 3 = 0\,\,\left( * \right)\).

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} < {x_2}\) thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt \({t_1} < {t_2}\).

Suy ra \(\Delta ' = 4 - \left( {m - 3} \right) = 7 - m > 0 \Rightarrow m < 7\,\,\left( {**} \right)\).

Khi đó áp dụng Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{t_1} + {t_2} = 4\\{t_1}.{t_2} = m - 3\end{array} \right.\).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _3}{x_1} = {t_1}\\{\log _3}{x_2} = {t_2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {3^{{t_1}}}\\{x_2} = {3^{{t_2}}}\end{array} \right.\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x_2} - 81{x_1} < 0 \Leftrightarrow {3^{{t_2}}} - {81.3^{{t_1}}} < 0\\ \Leftrightarrow {3^{{t_2}}} < {3^{{t_1} + 4}} \Leftrightarrow {t_2} < {t_1} + 4 \Leftrightarrow {t_2} - {t_1} < 4\\ \Leftrightarrow {\left( {{t_2} - {t_1}} \right)^2} < 16\,\,\,\left( {do\,\,{t_2} - {t_1} > 0} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {{t_2} + {t_1}} \right)^2} - 4{t_1}{t_2} < 16\\ \Leftrightarrow 16 - 4\left( {m - 3} \right) < 16\\ \Leftrightarrow 16 - 4m + 12 < 0 \Leftrightarrow m > 3\end{array}\)

Kết hợp điều kiện (**) và điều kiện đề bài ta có \(\left\{ \begin{array}{l}3 < m < 7\\m \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ {4;5;6} \right\}\).

Vậy có 3 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.