Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - t\\z = t\end{array} \right.\), \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2t'\\y = 1 + t'\\z = 2 + t'\end{array} \right.\). Đường thẳng \(\Delta \) cắt \(d,\,\,d'\) lần lượt tại các điểm \(A,\,\,B\) thỏa mãn độ dài đoạn thẳng \(AB\) nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng \(\Delta \) là

Câu 472414: Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - t\\z = t\end{array} \right.\), \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2t'\\y = 1 + t'\\z = 2 + t'\end{array} \right.\). Đường thẳng \(\Delta \) cắt \(d,\,\,d'\) lần lượt tại các điểm \(A,\,\,B\) thỏa mãn độ dài đoạn thẳng \(AB\) nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng \(\Delta \) là

A. \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 3}}\)

B. \(\dfrac{{x - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{z}{3}\)

C. \(\dfrac{{x - 4}}{{ - 2}} = \dfrac{y}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 2}}{3}\)

D. \(\dfrac{{x - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{3}\)

Câu hỏi : 472414

Phương pháp giải:

- Tham số hóa tọa độ các điểm \(A,\,\,B\).

- \(AB\) ngắn nhất khi \(AB\) là đoạn vuông góc chung của \(d,\,\,d'\).

- Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow u = 0\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {u'} = 0\end{array} \right.\) tìm tọa độ các điểm \(A,\,\,B\), với \(\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow {u'} \) lần lượt là VTCP của \(d,\,\,d'\).

- Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\) nhận \(\overrightarrow {AB} \left( {a;b;c} \right)\) là 1 VTCP: \(\dfrac{{x - {x_A}}}{a} = \dfrac{{y - {y_A}}}{b} = \dfrac{{z - {z_A}}}{c}\).

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Gọi \(\Delta \cap d = A\left( {t + 1;2 - t;t} \right);\,\,\,\Delta \cap d' = B\left( {2t';1 + t';2 + t'} \right)\).
\(AB\) ngắn nhất khi \(AB\) là đoạn vuông góc chung của \(d,\,\,d'\).
Gọi \(\overrightarrow u = \left( {1; - 1;1} \right)\) và \(\overrightarrow {u'} = \left( {2;1;1} \right)\) lần lượt là VTCP của \(d,\,\,d'\).
Vì \(AB\) là đoạn vuông góc chung của \(d,\,\,d'\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow u = 0\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {u'} = 0\end{array} \right.\)
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2t' - t - 1;\,\,t' + t - 1;\,\,t' - t + 2} \right)\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2t' - t - 1 - t' - t + 1 + t' - t + 2 = 0\\4t' - 2t - 2 + t' + t - 1 + t' - t + 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2t' - 3t = - 2\\6t' - 2t = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t' = \dfrac{1}{2}\\t = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {2;1;1} \right)\\B\left( {1;\dfrac{3}{2};\dfrac{5}{2}} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - 1;\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}} \right)\end{array}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.