Tìm \(m\) để hệ bất phương trình sau có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x - 10 \le 0\\mx + m -

Câu hỏi số 472695:

Vận dụng

Tìm \(m\) để hệ bất phương trình sau có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x - 10 \le 0\\mx + m - 2 > 0\end{array} \right.\).

A. \(m \in \left( { - \infty ;\,\, - 2} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{3};\,\, + \infty } \right)\)

B. \(m \in \left( { - \infty ;\,\,0} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{3};\,\, + \infty } \right)\)

C. \(m \in \left( { - \infty ;\,\, - 2} \right) \cup \left( {0;\,\, + \infty } \right)\)

D. \(m \in \left( {0;\,\,\dfrac{1}{3}} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:472695

Phương pháp giải

Xét từng trường hợp của \(m\) (\(m = 0,\,\,m > 0,\,\,m < 0\))

+ Giải BPT \(\left( 1 \right)\)\( \Rightarrow {S_1}\)

+ Giải BPT \(\left( 2 \right)\)\( \Rightarrow {S_2}\)

+ Hệ BPT có nghiệm \( \Leftrightarrow {S_1} \cap {S_2} \ne \emptyset \).

Giải chi tiết

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x - 10 \le 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\mx + m - 2 > 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Giải \(\left( 1 \right)\):

\(\begin{array}{l}{x^2} - 3x - 10 \le 0\\ \Leftrightarrow - 2 \le x \le 5\end{array}\)

\( \Rightarrow {S_1} = \left[ { - 2;\,\,5} \right]\)

Giải \(\left( 2 \right)\):

\(\begin{array}{l}mx + m - 2 > 0\\ \Leftrightarrow mx > 2 - m\end{array}\)

TH1: \(m = 0 \Leftrightarrow 0 > 2\) (vô lý)

\( \Rightarrow \) loại \(m = 0\)

TH2: \(m < 0 \Rightarrow x < \dfrac{{2 - m}}{m}\)

\( \Rightarrow {S_2} = \left( { - \infty ;\,\,\dfrac{{2 - m}}{m}} \right)\)

Để hệ bất phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow {S_1} \cap {S_2} \ne \emptyset \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{2 - m}}{m} > - 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2 + m}}{m} > 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow 2 + m < 0\) (vì \(m < 0\))

\( \Leftrightarrow m < - 2\)

TH3: \(m > 0 \Rightarrow x > \dfrac{{2 - m}}{m}\)

\( \Rightarrow {S_2} = \left( {\dfrac{{2 - m}}{m};\,\, + \infty } \right)\)

Để hệ bất phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow {S_1} \cap {S_2} \ne \emptyset \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{2 - m}}{m} < 5\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2 - 6m}}{m} < 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow 2 - 6m < 0\)(vì \(m > 0\))

\( \Leftrightarrow m > \dfrac{1}{3}\)

Kết hợp \(3\) trường hợp suy ra \(m \in \left( { - \infty ;\,\, - 2} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{3};\,\, + \infty } \right)\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10